题目内容
【题目】已知,如图1,过点E(0,-1)作平行于x轴的直线l,抛物线y=x2上的两点A、B的横坐标分别为-1和4,直线AB交y轴于点F,过点A、B分别作直线l的垂线,垂足分别为点C、D,连接CF、DF.
(1)求点A、B、F的坐标;
(2)求证:CF⊥DF;
(3)点P是抛物线y=x2对称轴右侧图象上的一动点,过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q,是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)A(-1,),B(4,4),∴F(0,1)(2)证明见解析;(3)P1(2,1)、P2(8,16)
【解析】
试题分析:(1)待定系数法求解即可.
(2)在Rt△CEF中算出△DEF边长利用勾股定理证明CF⊥DF;
(3)求存在性问题,先假设存在,看是否找到符合条件的点P的坐标,此题分两种情况;(1)Rt△QPO∽Rt△CFD;(2)Rt△OPQ∽Rt△CFD,根据比例求出P点坐标.
试题解析:(1)如图1,
当x=-1时,y=;当x=4时,y=4
∴A(-1,),B(4,4)
设直线AB的解析式为y=kx+b
则,解得
∴直线AB的解析式为y=x+1
当x=0时,y=1
∴F(0,1)
(2)在Rt△CEF中,CE=1,EF=2,
根据勾股定理得:CF2=CE2+EF2=12+22=5,
∴CF=
在Rt△DEF中,DE=4,EF=2
∴DF2=DE2+EF2=42+22=20
∴DF=2
由(1)得C(-1,-1),D(4,-1)
∴CD=5
∴CD2=52=25
∴CF2+DF2=CD2
∴∠CFD=90°
∴CF⊥DF
(3)存在.如图2作PM⊥x轴,垂足为点M
又∵PQ⊥OP
∴Rt△OPM∽Rt△OQP
∴∴
设P(x,x2)(x>0),
则PM=x2,OM=x
①当Rt△QPO∽Rt△CFD时,
∴
解得x=2∴P1(2,1)
②当Rt△OPQ∽Rt△CFD时,
∴
解得x=8
∴P2(8,16)
综上,存在点P1(2,1)、P2(8,16)使得△OPQ与△CDF相似.