题目内容

【题目】已知,如图1,过点E(0,-1)作平行于x轴的直线l,抛物线y=x2上的两点A、B的横坐标分别为-1和4,直线AB交y轴于点F,过点A、B分别作直线l的垂线,垂足分别为点C、D,连接CF、DF.

(1)求点A、B、F的坐标;

(2)求证:CFDF;

(3)点P是抛物线y=x2对称轴右侧图象上的一动点,过点P作PQPO交x轴于点Q,是否存在点P使得OPQ与CDF相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)A(-1,B(4,4)F(0,1)(2)证明见解析;(3)P1(2,1)、P2(8,16)

【解析】

试题分析:(1)待定系数法求解即可

(2)在RtCEF中算出DEF边长利用勾股定理证明CFDF;

(3)求存在性问题,先假设存在,看是否找到符合条件的点P的坐标,此题分两种情况;(1)RtQPORtCFD;(2)RtOPQRtCFD,根据比例求出P点坐标.

试题解析:(1)如图1,

当x=-1时,y=;当x=4时,y=4

A(-1,B(4,4)

设直线AB的解析式为y=kx+b

解得

直线AB的解析式为y=x+1

当x=0时,y=1

F(0,1)

(2)在RtCEF中,CE=1,EF=2,

根据勾股定理得:CF2=CE2+EF2=12+22=5,

CF=

在RtDEF中,DE=4,EF=2

DF2=DE2+EF2=42+22=20

DF=2

由(1)得C(-1,-1),D(4,-1)

CD=5

CD2=52=25

CF2+DF2=CD2

∴∠CFD=90°

CFDF

(3)存在.如图2作PMx轴,垂足为点M

PQOP

RtOPMRtOQP

设P(x,x2)(x0),

则PM=x2,OM=x

①当RtQPORtCFD时,

解得x=2P1(2,1)

②当RtOPQRtCFD时,

解得x=8

P2(8,16)

综上,存在点P1(2,1)、P2(8,16)使得OPQ与CDF相似.

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