Question

关于x的一元二次方程x²-2x-m=0
①已知1+

3

是方程的一个根，求它的另一根及m的值
②判断命题：“若m≤2，则方程x²-2x-m=0总有两个不相等的实数根”的真假，如果是真命题请给出证明；如果是假命题请举出一个反例说明

Answer 1

①设方程的另一个根为x₁，则：
x₁+1+

3

=2，
∴x₁=1-

3

．
x₁•（1+

3

）=-m，
（1-

3

）（1+

3

）=-2=-m，
∴m=2．
故另一个根是：1-

3

，m=2．

②△=4+4m＞0，
m＞-1．
∴当m＞-1时，方程总有两个不等实数根．
故命题“若m≤2，则方程x²-2x-m=0总有两个不相等的实数根”是假命题．
如当m=-2时，方程为x²-2x+2=0，此时△=4-8=-4＜0，方程没有实数根．