Question

如图，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线。

（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1） ∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C， ∴由条件可得RtΔAOC∽ RtΔCOB， ∴，由A、B坐标∴，解得OC=3（负值舍去），∴C（0，-3） 设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-9）， ∴-3=a（0+1）（0-9），解得a=， ∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x-9），即y=x2-x-3； （2） ∵AB为O′的直径，且A（-1，0），B（9，0）， ∴OO′=4，O′（4，0）， ∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D， ∴∠BCD=45°，连结O′D，则∠BO′D=90°（同弦BD所对的圆心角） ∴D （4，-5）， 直线BC解析式为y=x-3 、直线BD解析式为y=x-9 （3）①当DP1∥CB时，能使∠PDB=∠CBD， 又∵DP1∥CB， ∴设直线DP1的解析式为y=x+n， 把D（4，-5）代入可求n=-， ∴直线DP1解析式为y=x-， DP1与抛物线的交点满足x-=x2-x-3 ∴点P1坐标为 ②当CQ∥BD时，求得圆上点Q（7，4），直线DQ与抛物线交于点P2 （14，25）。 （答案不唯一）