Question

如图所示，矩形AOBC在直角坐标系中，O为原点，A在x轴上，B在y轴上，直线AB的函数关系式为，M是OB上的一点，若将梯形AMBC沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，C的对应点为C′．
（1）求出B′点和M点的坐标；
（2）求直线A C′的函数关系式；
（3）设一动点P从A点出发，以每秒1个单位速度沿射线AB方向运动，过P作PQ⊥AB，交射线AM于Q；
①求运动t秒时，Q点的坐标；（用含t的代数式表示）
②以Q为圆心，以PQ的长为半径作圆，当t为何值时，⊙Q与y轴相切？

Answer 1

解：（1）由一次函数可知A（6，0），B（0，8），
由Rt△AOB可得OA=6，OB=8，AB=10，AB′=10，
B′的坐标为（-4，0），
设BM=a，则B′M=a，OM=8-a，在Rt△MOB′中OM²+OB′²=BM²，
即（8-a）²+4²=a²，解得a=5，
故OM=3，
M点的坐标为：（0，3）；

（2）△ABC沿AM翻转后变成△AB′C′，故△ABC≌△AB′C′，tan∠CAB=tan∠C′BA′=，
∴AC′的斜率为，
∵A点坐标为（6，0）
∴AC′的解析式为y=（x-6）；

（3）由题意，点P坐标为（6-t，-），作QG⊥x轴，
∴AG=AP=t，
∴①Q（6-t，）或（6-t，）
∴②当t=4或12秒．
分析：结合图形，考虑到折叠后的图形与原图形的全等关系即可求得．
点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．