题目内容
如图①,在平面直角坐标系中,已知△ABC是等边三角形,点B的坐标为(12,0),动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动,设运动时间为t秒.以点P为顶点,作等边△PMN,点M,N在x轴上.
1.当t为何值时,点M与点O重合.
2.求点P坐标和等边△PMN的边长(用t的代数式表示).
3.如果取OB的中点D,以OD为边在△AOB内部作如图②所示的矩形ODEF,点E在线段AB上.设等边△PMN和矩形ODEF重叠部分的面积为S,请求出当秒时S与
的函数关系式,并求出S的最大值.
1.(1)如图①,点M与点O重合.
∵△ABC是等边三角形,∴∠ABO=30°,∠BAO=60°.由OB=12,∴AB=8,AO=4
.
∵△PON是等边三角形,∴∠PON=60°.∴∠AOP=60°.∴AO=2AP,即4=2
t.解得t=2.∴当t=2时,点M与点O重合.
2.(2)如图②,过P分别作PQ⊥OA于点Q,PS⊥OB于点S.
可求得AQ=AP=
,PS=QO=4
-
.
∴点P坐标为(,4
-
). ………………6分
在Rt△PMS中,sin60°=,
∴PM=(4-
)÷
=8-t.
3.(3)(Ⅰ)当0≤t≤1时,见图③.
设PN交EF于点G,则重叠部分为直角梯形FONG,作GH⊥OB于点H.
∵∠GNH=60°,GH=2,∴HN=2.∵MP=8-t,∴BM=2MP=16-2t.
∴OM=BM-OB=16-2t-12=4-2t.∴ON=MN-OM=8-t-(4-2t)=4+t.
∴FG=OH=ON-HN=4+t-2=2+t. ∴S=(2+t+4+t)×2
=2
t+6
.
∵S随t的增大而增大,∴当t=1时,S最大=8.…10分
(Ⅱ)当1<t≤2时,见图④.设PM交EF于点I,交FO于点Q,PN交EF于点G.
重叠部分为五边形OQIGN.
OQ=4-2
t,FQ=2
-(4
-2
t)= 2
t-2
,
FI=FQ=2t-2.
∴三角形QFP的面积=(2
t-2
)(2t-2)=
2
(t2-2t+1).
由(Ⅰ)可知梯形OFGN的面积=2t+6
,
∴S=2t+6
-2
(t2-2t+1)=-2
(t2-3t-2).
∵-2<0,∴当t=
时,S有最大值,S最大=
.
综上所述:当0≤t≤1时,S=2t+6
;当1<t≤2时,S=-2
t2+6
t+4
;
∵>8
,∴S的最大值是
.
【解析】略
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