Question

【题目】如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE．
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若AD、AB的长是方程x2﹣10x+24=0的两个根，求直角边BC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：DE与半圆O相切，理由为：

连接OD，BD，如图所示：

∵AB为圆O的直径，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E为BC的中点，

∴DE=BE= BC，

∴∠EBD=∠EDB，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

又∵∠ABC=90°，即∠OBD+∠EBD=90°，

∴∠EDB+∠ODB=90°，即∠ODE=90°，

∴DE为圆O的切线

（2）解：方程x2﹣10x+24=0，

因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）=0，

解得：x1=4，x2=6，

∵AD、AB的长是方程x2﹣10x+24=0的两个根，且AB＞AD，

∴AD=4，AB=6，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD= =2 ，

∵△ABD∽△ACB，

∴ = ，即 = ，

∴BC=3 ．

【解析】（1）DE与半圆O相切，理由为：连接OD，BD，由AB为半圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到一个角为直角，可得出三角形BDC为直角三角形，又E为斜边BC的中点，利用中点的定义及斜边上的中线等于斜边的一半，得到ED=EB，利用等边对等角得到一对角相等，再由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，根据∠EBO为直角，得到∠EBD与∠OBD和为90°，等量代换可得出∠ODE为直角，即DE与OD垂直，可得出DE为圆O的切线，得证；（2）利用因式分解法求出x2﹣10x+24=0的解，再根据AB大于AD，且AD和AB为方程的解，确定出AB及AD的长，在直角三角形ABD中，利用勾股定理即可求出BD的长，然后根据三角形相似即可求得BC的长．
【考点精析】本题主要考查了因式分解法和切线的判定定理的相关知识点，需要掌握已知未知先分离，因式分解是其次．调整系数等互反，和差积套恒等式．完全平方等常数，间接配方显优势；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题．