Question

已知二次函数y=x²+bx-3的图象经过点P（-2，5）
（1）求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围；
（2）设P₁（m，y₁）、P₂（m+1，y₂）、P₃（m+2，y₃）在这个二次函数的图象上，
①当m=4时，y₁、y₂、y₃能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y₁、y₂、y₃一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．

Answer 1

（1）把（-2，5）代入二次函数y=x²+bx-3得：5=4-2b-3，
∴b=-2，
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的开口方向向上，对称轴是直线x=1，
把x=1代入得：y=-4，
把x=3代入得：y=0，
∴当1＜x≤3时y的取值范围是-4＜y≤0，
答：b的值是-2，当1＜x≤3时y的取值范围是-4＜y≤0．

（2）①答：当m=4时，y₁、y₂、y₃不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当m=4时，P₁（4，y₁）、P₂（5，y₂）、P₃（6，y₃），
代入抛物线的解析式得：y₁=5，y₂=12，y₃=21，
∵5+12＜21，
∴当m=4时，y₁、y₂、y₃不能作为同一个三角形三边的长．

②理由是：∵把P₁（m，y₁）、P₂（m+1，y₂）、P₃（m+2，y₃）代入y=x²-2x-3=（x-1）²-4得：
∴y₁=（m-1）²-4，y₂=（m+1-1）²-4，y₃=（m+2-1）²-4，
∴y₁+y₂-y₃=（m-1）²-4+（m+1-1）²-4-[（m+2-1）²-4]=（m-2）²-8，
∵m≥5，
∴（m-2）²-8＞0，
∴y₁+y₂＞y₃，
根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边），
∴当m取不小于5的任意实数时，y₁、y₂、y₃一定能作为同一个三角形三边的长．