Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．
（1）当CE=1时，求△BCE的面积；
（2）求证：BD=EF+CE．

Answer 1

分析：（1）先证明∠BCE=90°，∠CBE=30°，△BCE为直角三角形，又CE=1，继而求出BE的长，再根据三角形的面积公式求解即可；
（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．

解答：（1）解：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠CAB=

1

2

∠DAB=30°，
∵DC∥AB，AD=BC，
∴∠DAB=∠CBA=60°，
∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠CBA）=90°，
∴∠BCE=180°-∠ACB=90°，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=30°，
在Rt△BCE中，BE=2CE=2，BC=

BE2-CE2

=

3

，
∴S△BCE=

1

2

BC•CE=

1

2

×1×

3

=

3

2

；

（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，
∵∠DAB=60°，DC∥AB，AD=DC=BC，
∴∠DAB=∠CBA=60°，∠CDB=∠CBD=∠DBA=30°，
∴∠ADB=90°，
∴∠FDB=∠F=∠EMD=90°，
∴四边形FDME是矩形，
∴FE=DM，
在△BME和△ECB中

∠EMB=∠ECB ∠MBE=∠BEC BE=BE

，
∴△BME≌△ECB（AAS），
∴BM=CE，
∴BD=DM+BM=EF+CE．

点评：本题考查梯形的性质及全等三角形的判定与性质，难度适中，注意对这些知识的熟练掌握以便灵活运用．