Question

在平面直角坐标系中，正△O₁A₁B₁，边长为1，O₁在坐标原点，取A₁B₁的中点作第二个正△O₂A₂B₂，取A₂B₂的中点作第三个正△O₃A₃B₃，…，所有的正三角形都关于y轴对称，如果所作的正三角形的边长依次增加1个单位长度，顶点A_n都在第一象限内（n≥1，且n为整数），那么A₂的坐标为

 

，A_n的坐标

 

．

Answer 1

分析：运用等边三角形的性质求出三角形的

1

2

边长即A点的横坐标，用勾股定理求出三角形的高，然后找出每下一个三角形高与上一个三角形高的规律性，即可求得A_n纵坐标．

解答：解：第一个正三角形的高是

3

2

，每下一个正三角形的高比前一个增加

3

2

，那么第n个正三角形的高是

n 3

2

．A_n的横坐标是

n

2

，纵坐标是所有正三角形高的和，即为

3

2

+

2 3

2

+

3 3

2

+…+

n 3

2

=

3

2

（1+2+3+…+n）=

3  n2+ 3 n

4

，所以A_n的坐标（

n

2

，

3 n2+ 3 n

4

）．
当n=2时，A₂的坐标为 （1，

3 3

2

）．

点评：此题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的运用及其规律性．