Question

已知P是△ABC内任意一点（如图）．
（1）求证：

1

2

（a+b+c）＜PA+PB+PC＜a+b+c；
（2）若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：PA+PB+PC＜2．

Answer 1

分析：（1）由三角形两边之和大于第三边得PA+PB＞c，PB+PC＞a，PC+PA＞b，则有PA+PB+PC＞

1

2

（a+b+c）；由定理4可知PA+PB＜a+b，PB+PC＜b+c，PC+PA＜c+a，则有PA+PB+PC＜a+b+c．从而得以证明．
（2）过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，可得PA＜max{AD，AE}=AD，PB＜BD+DP，PC＜PE+EC，根据不等式的性质即可证明PA+PB+PC＜2．

解答：证明：（1）由三角形两边之和大于第三边得
PA+PB＞c，PB+PC＞a，PC+PA＞b．把这三个不等式相加，再两边除以2，便得
PA+PB+PC＞

1

2

（a+b+c）．
又由定理4可知
PA+PB＜a+b，PB+PC＜b+c，
PC+PA＜c+a．
把它们相加，再除以2，便得
PA+PB+PC＜a+b+c．
所以

1

2

（a+b+c）＜PA+PB+PC＜a+b+c；

（2）过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，如图所示．于是
PA＜max{AD，AE}=AD，
PB＜BD+DP，PC＜PE+EC，
所以PA+PB+PC＜AD+BD+DP+PE+EC=AB+AE+EC=2．

点评：本题考查了三角形三边关系和正三角形的性质，同时考查了不等式的性质，综合性较强，有一定的难度．