题目内容

已知△ABC，
（1）如图1，若D点是△ABC内任一点，BD、CD分别为∠ABC、∠ACB的角平分线． 则∠D、∠A的关系为
∠D=90°+
1
2
∠A
∠D=90°+
1
2
∠A
．
（2）若D点是△ABC外一点，位置如图2所示．BD、CD分别为∠FBC、∠ECB的角平分线． 则∠D、∠A的关系为
∠D=90°-
1
2
∠A
∠D=90°-
1
2
∠A
．
（3）若D点是△ABC外一点，位置如图3所示．BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线． 则∠D、∠A的关系为
∠D=
1
2
∠A
∠D=
1
2
∠A
．
分析：（1）先根据角平分线的性质求出∠DBC、∠DCB与∠A的关系，再根据三角形内角和定理求解即可；
（2）先根据BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线可知∠DBC=
1
2
∠EBC，∠BCD=
1
2
∠BCF，再由∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角得出∠CBE+∠BCF=360°-（180°-∠A）=180°+∠A，故∠DBC+∠BCD=
1
2
（∠EBC+∠BCD）=
1
2
（180°+∠A）=90°+
1
2
∠A，根据在△DBC中∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD）即可得出结论；
（3）先根据BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线可知∠1=∠DBC=
1
2
∠ABC，∠2=∠DCE，再由∠DCE是△BCD的外角得出∠DCE=∠D+∠DBE，再根据∠ACE是△ABC的外角即可得出∠ACE=∠A+∠ABC由此即可得出结论．
解答：解：（1）：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC=
1
2
∠ABC，∠DCB=
1
2
∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-
1
2
（∠ABC+∠ACB）=180°-
1
2
（180°-∠A）=90°+
1
2
∠A，
∴∠BDC=90°+
1
2
∠A，
即∠D=90°+
1
2
∠A．

（2）：∵BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线
∴∠DBC=
1
2
∠EBC，∠BCD=
1
2
∠BCF，
∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角
∴∠CBE+∠BCF=360°-（180°-∠A）=180°+∠A
∴∠DBC+∠BCD=
1
2
（∠EBC+∠BCD）=
1
2
（180°+∠A）=90°+
1
2
∠A，
在△DBC中∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD）=180°-（90°+
1
2
∠A）=90°-
1
2
∠A，即∠D=90°-
1
2
∠A．

（3）∵BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线，
∴∠1=∠DBC=
1
2
∠ABC，∠2=∠DCE=
1
2
（∠A+∠ABC），
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠A+∠ABC，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠D=∠DCE-∠DBC
=∠DCE-∠1
=
1
2
∠ACE-
1
2
∠ABC
=
1
2
（∠A+∠ABC）-
1
2
∠ABC
=
1
2
∠A．
故答案为：∠D=90°+
1
2
∠A；∠D=90°-
1
2
∠A；∠D=
1
2
∠A．
点评：本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
练习册系列答案
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1、已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若a、b是关于x的一元二次方程x2-（c+4）x+4c+8=0的两个根，判断△ABC的形状
直角三角形
．
已知ABC的三边满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，则这个三角形的形状是（　　）
A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、等边三角形
精英家教网如图，已知ABC中，AD为BC边上的中线，且AB=4cm，AC=3cm，则AD的取值范围是（　　）
A、3＜AD＜4
B、1＜AD＜7
C、
1
2
＜AD＜
7
2
D、
1
3
＜AD＜
7
3
已知△ABC中，cosA=
1
2
，tgB=1，则△ABC的形状是（　　）
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、等腰三角形
精英家教网如图，已知△ABC，∠B的平分线交边AC于P，∠A的平分线交边BC于Q，如果过点P、Q、C的圆也过△ABC的内心R，且PQ=1，则PR的长等于
 
．

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