Question

如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC与∠ADC互补．
（1）求∠C的度数；
（2）若BC＞CD且AB=AD，请在图上画出一条线段，把四边形ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；
（3）若CD=6，BC=8，S_{四边形ABCD}=49，求AB的值．

Answer 1

（1）∵∠ABC与∠ADC互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°．
∵∠A=90°，
∴∠C=360°-90°-180°=90°；

（2）过点A作AE⊥BC，垂足为E．
则线段AE把四边形ABCD分成△ABE和四边形AECD两部分，把△ABE以A点为旋转中心，逆时针旋转90°，则被分成的两部分重新拼成一个正方形．
过点A作AF∥BC交CD的延长线于F，
∵∠ABC+∠ADC=180°，又∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADF．
∵AD=AB，∠AEC=∠AFD=90°，∴△ABE≌△ADF．
∴AE=AF．∴四边形AECF是正方形；

（3）解法1：连接BD，
∵∠C=90°，CD=6，BC=8，Rt△BCD中，BD=

82+62

=10
又∵S_{四边形ABCD}=49，∴S_△ABD=49-24=25．
过点A作AM⊥BD垂足为M，
∴S_△ABD=

1

2

×BD×AM=25．∴AM=5．
又∵∠BAD=90°，∴△ABM∽△DAM．
∴

AM

BM

=

MD

AM

．
设BM=x，则MD=10-x，
∴

5

X

=

10-X

5

．解得x=5．
∴AB=5

2

．
解法2：连接BD，∠A=90°．
设AB=x，AD=y，则x²+y²=10²，①
∵

1

2

xy=25，∴xy=50．②
由①，②得：（x-y）²=0．
∴x=y．
2x²=100．
∴x=5

2

．