题目内容
在锐角△ABC中,BC=5,sinA=.
(1)如图1,求△ABC外接圆的直径;
(2)如图2,点I为△ABC的内心,BA=BC,求AI的长。
(1)如图1,求△ABC外接圆的直径;
(2)如图2,点I为△ABC的内心,BA=BC,求AI的长。
解:(1)作△ABC的外接圆的直径CD,连接BD。
则∠CBD=900,∠D=∠A。
∴。
∵BC=5,∴。
∴△ABC外接圆的直径为。
(2)连接BI并延长交AC于点H,作IE⊥AB于点E。
∵BA=BC,∴BH⊥AC。∴IH=IE。
在Rt△ABH中,BH=AB·sin∠BDH=4,。
∵,∴ ,即。
∵IH=IE,∴。
在Rt△AIH中,。
则∠CBD=900,∠D=∠A。
∴。
∵BC=5,∴。
∴△ABC外接圆的直径为。
(2)连接BI并延长交AC于点H,作IE⊥AB于点E。
∵BA=BC,∴BH⊥AC。∴IH=IE。
在Rt△ABH中,BH=AB·sin∠BDH=4,。
∵,∴ ,即。
∵IH=IE,∴。
在Rt△AIH中,。
三角形外心和内心的性质,圆周角定理,锐角三角函数定义,等腰三角形的性质,角平分线的判定和性质,勾股定理。
(1)作△ABC的外接圆的直径CD,连接BD,由直径所对圆周角是直角的性质得∠CBD=900,由同圆中同弧所对圆周角相等得∠D=∠A,从而由已知,根据锐角三角函数定义即可求得△ABC外接圆的直径。
(2)连接BI并延长交AC于点H,作IE⊥AB于点E,由三角形内心的性质和角平分线的判定
和性质,知IH=IE。在Rt△ABH中,根据锐角三角函数定义和勾股定理可求出BH=4和AH=3,从而由求得。在Rt△AIH中,应用勾股定理求得AI的长。
(1)作△ABC的外接圆的直径CD,连接BD,由直径所对圆周角是直角的性质得∠CBD=900,由同圆中同弧所对圆周角相等得∠D=∠A,从而由已知,根据锐角三角函数定义即可求得△ABC外接圆的直径。
(2)连接BI并延长交AC于点H,作IE⊥AB于点E,由三角形内心的性质和角平分线的判定
和性质,知IH=IE。在Rt△ABH中,根据锐角三角函数定义和勾股定理可求出BH=4和AH=3,从而由求得。在Rt△AIH中,应用勾股定理求得AI的长。
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