题目内容
问题：你能比较20112012和20122011的大小吗？
为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的-般形式，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n是正整数），然后，我们从分析n=1，n=2，n=3，…，这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小（填“＜”“＞”或“=”）：
①12
④45
（2）将题（1）的结果进行归纳，可以猜想出nn+1和（n+1）n的大小关系是
（3）根据上面归纳猜想后得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：20112012
为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的-般形式，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n是正整数），然后，我们从分析n=1，n=2，n=3，…，这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小（填“＜”“＞”或“=”）：
①12
＜
＜
21；②23＜
＜
32；③34＞
＞
43；④45
＞
＞
54；⑤56＞
＞
65；…（2）将题（1）的结果进行归纳，可以猜想出nn+1和（n+1）n的大小关系是
当n＜3时，nn+1＜（n+1）n，当n≥3时，nn+1＞（n+1）n
当n＜3时，nn+1＜（n+1）n，当n≥3时，nn+1＞（n+1）n
；（3）根据上面归纳猜想后得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：20112012
＞
＞
20122011．分析：（1）根据有理数的乘方的定义分别进行计算即可得解；
（2）根据（1）的计算结果分情况解答；
（3）根据（2）的结论解答即可．
（2）根据（1）的计算结果分情况解答；
（3）根据（2）的结论解答即可．
解答：解：（1）①12=1，21=2；
②23=8，32=9；
③34=81，43=64；
④45=1024，54=625；⑤56=15625，65=7776；…
（2）当n＜3时，nn+1＜（n+1）n，
当n≥3时，nn+1＞（n+1）n；
（3）∵2011＞3，
∴20112012＞20122011．
故答案为：（1）＜；＜；＞；＞；＞；（2）当n＜3时，nn+1＜（n+1）n，当n≥3时，nn+1＞（n+1）n；（3）＞．
②23=8，32=9；
③34=81，43=64；
④45=1024，54=625；⑤56=15625，65=7776；…
（2）当n＜3时，nn+1＜（n+1）n，
当n≥3时，nn+1＞（n+1）n；
（3）∵2011＞3，
∴20112012＞20122011．
故答案为：（1）＜；＜；＞；＞；＞；（2）当n＜3时，nn+1＜（n+1）n，当n≥3时，nn+1＞（n+1）n；（3）＞．
点评：本题考查了有理数的乘方，有理数的大小比较，理解有理数的乘方的意义准确计算是解题的关键．
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