Question

22、问题：你能比较2009²⁰¹⁰和2010²⁰⁰⁹的大小吗？
为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n为正整数），我们从n=1，n=2，n=3…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论．
（1）通过计算，比较下列各组数字大小
①1²

＜

2¹②2³

＜

3²③3⁴

＞

4³
④4⁵

＞

5⁴⑤5⁴

＞

6⁵⑥6⁷

＞

7⁶
…
（2）把第（1）题的结果经过归纳，你能得出什么结论？
（3）根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小：
2009²⁰¹⁰

＞

2010²⁰⁰⁹（填“＞”、“＜”或“=”）

Answer 1

分析：（1）通过计算即可得出答案，（2）分类进行讨论：当n≤2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，当n＞2时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，（3）根据规律进行比较即可．

解答：解：（1）通过计算得出：1²＜2¹，2³＜3²，3⁴＜4³，4⁵＞5⁴，5⁴＞6⁵，6⁷＞7⁶，
（2）把第（1）题的结果经过归纳得出：
当n≤2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
当n＞2时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，
（3）根据以上结论得出：2009²⁰¹⁰＞2010²⁰⁰⁹，
故答案为2009²⁰¹⁰＞2010²⁰⁰⁹．

点评：本题考查了有理数的乘方和有理数大小比较，解题的关键是通过计算发现规律，然后根据规律进行判断就容易了．