Question

【题目】如图 1，在平面直角坐标系中，图形 W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点 P( , ) ，Q( , ) 是图形 W 上的任意两点，若的最大值为 m ，则

图形 W 在 x 轴上的投影长度为 lx m ；若的最大值为 n ，则图形 W 在 y 轴上的

投影长度为 ly n ．如图 1，图形 W 在 x 轴上的投影长度为 lx 4 ；在 y 轴上的 投影长度为 ly 3 ．

（1）已知点 A(1, 2) ， B(2, 3) ， C (3,1) ，如图 2 所示，若图形 W 为四边形 OABC ，

则 lx ， ly ；

（2）已知点 C (, 0) ，点 D 在直线 y x 1(x 0) 上，若图形 W 为 OCD ，当 lx ly

时，求点 D 的坐标；

（3 ）若图形 W 为函数 y x 2(a x b) 的图象，其中 (0 a b) ，当该图形满足

lx ly 1时，请直接写出 a 的取值范围．

图 1 图 2

Answer 1

【答案】（1）4,3;(2)（-，）或（-10，-14）;(3) .

【解析】

（1）确定出点A在y轴的投影的坐标、点B在x轴上投影的坐标，于是可求得问题的答案；
（2）过点P作PD⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=|2x+6|．PC=|3-x|，然后依据lx=ly，列方程求解即可；
（3）设A（a，a2）、B（b，b2）．分别求得图形在y轴和x轴上的投影，由lx=ly可得到b+a=1，然后根据0≤a＜b可求得a的取值范围．

解：（1）∵A（3，3），
∴点A在y轴上的正投影的坐标为（0，3）．
∴△OAB在y轴上的投影长度ly=3．
∵B（4，1），
∴点B在x轴上的正投影的坐标为（4，0）．
∴△OAB在x轴上的投影长度lx=4．
故答案为：4；3．
（2）如图1所示；过点P作PD⊥x轴，垂足为P．

设D（x，2x+6），则PD=2x+6．
∵PD⊥x轴，
∴P（x，0）．
∴PC=4-x．
∵lx=ly，
∴2x+6=4-x，解得；x=-．
∴D（-，）．
如图2所示：过点D作DP⊥x轴，垂足为P．

设D（x，2x+6），则PD=-2x-6．
∵PD⊥x轴，
∴P（x，0）．
∴PC=4-x．
∵lx=ly，
∴-2x-6=4-x，解得；x=-10．
∴D（-10，-14）．
综上所述，点D的坐标为（-，）或（-10，-14）．
（3）如图3所示：

设A（a，a2）、B（b，b2）．则CE=b-a，DF=b2-a2=（b+a）（b-a）．
∵lx=ly，
∴（b+a）（b-a）=b-a，即（b+a-1）（b-a）=0．
∵b≠a，
∴b+a=1．
又∵0≤a＜b，
∴a+a＜1，
∴0≤a＜.