Question

【题目】【探究证明】

(1)在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.，求证：；

【结论应用】

(2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上．若，求；

【联系拓展】

(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；(2)；（3）.

【解析】分析：(1)过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，根据矩形的性质证明△PDA∽△QAB；(2)根据(1)的结论可得；(3)过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，SC＝x，DS＝y，在Rt△CSD，Rt△ARD中，用勾股定理列方程组求出AR，AB，结合(1)的结论求解.

详解：(1)如图1，过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．

∴四边形AEFP，四边形BHGQ都是平行四边形，

∴AP＝EF，GH＝BQ．

又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT＋∠AQT＝90°．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP＋∠DPA＝90°，

∴∠AQT＝∠DPA.∴△PDA∽△QAB.

∴，∴.

(2)如图2，∵GH⊥EF，AM⊥BN，

∴由(1)的结论可得，，

∴.

(2)如图3，过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，则四边形ABSR是平行四边形．

∵∠ABC＝90°，∴ABSR是矩形，

∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．

∵AM⊥DN，∴由(1)中的结论可得．

设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5＋x，RD＝10﹣y，

∴在Rt△CSD中，x2＋y2＝25①，

在Rt△ARD中，(5＋x)2＋(10﹣y)2＝100②，

由②﹣①得x＝2y﹣5③，

，解得，(舍)，

所以AR＝5＋x＝8，则.