Question

观察下列关于自然数的等式：
3²﹣4×1²=5   ①
5²﹣4×2²=9   ②
7²﹣4×3²=13  ③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：9²﹣4×　_________　²=　_________　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．

Answer 1

4²，17；
（2）（2n+1）²﹣4n²=2（2n+1）﹣1．

解析试题分析：由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．
试题解析：（1）3²﹣4×1²=5   ①
5²﹣4×2²=9   ②
7²﹣4×3²=13  ③
…
所以第四个等式：9²﹣4×4²=17；
（2）第n个等式为：（2n+1）²﹣4n²=2（2n+1）﹣1，
左边=（2n+1）²﹣4n²=4n²+4n+1﹣4n²=4n+1，
右边=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1．
左边=右边
∴（2n+1）²﹣4n²=2（2n+1）﹣1．
考点：1.数字的变化规律2.完全平方公式．