Question

如图，⊙O的直径=6cm，是延长线上的一点，过点作⊙O的切线，切点为，连接．

(1)若30°，求PC的长；
(2)若点在的延长线上运动，的平分线交于点，你认为∠的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠的值．

Answer 1

（1）PC=；（2）∠CMP=45°，即∠CMP的大小不发生变化．

试题分析：（1）在圆中线段利用由切线定理求得∠OCP=90°，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合解直角三角形求得PC即可．
（2）先根据切线的性质得到∠OCP=90°，再利用角平分线和圆周角的性质得到2∠A+2∠APM=90，即∠A+∠APM=45°，利用三角形的外角等于不相邻的两个内角和可知∠CMP=∠A+∠APM=45°，所以∠CMP的大小不发生变化．
试题解析：
解：（1）连接，
PC是⊙O的切线，
∴∠OCP=90°．
∵30°，OC==3，
∴，即PC=．
（2）∠CMP的大小不发生变化．
∵PM是∠CPA的平分线，
∴∠CPM=∠MPA．
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO．
在△APC中，
∵∠A＋∠ACP＋∠CPA=180°，
∴2∠A＋2∠MPA=90°，∠A＋∠MPA=45°．
∴∠CMP=∠A＋∠MPA=45°．即∠CMP的大小不发生变化．