Question

阅读材料：我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|．所以式子|x-3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．
根据上述材料，解答下列问题：

（1）若|x-3|=|x+1|，则x=

 

；
（2）式子|x-3|+|x+1|的最小值为

 

；
（3）若|x-3|+|x+1|=7，求x的值．

Answer 1

分析：（1）根据绝对值的意义，可知|x-3|是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离，|x+1|是数轴上表示数x的点与表示数-1的点之间的距离，若|x-3|=|x+1|，则此点必在-1与3之间，故x-3＜0，x+1＞0，由此可得到关于x的方程，求出x的值即可；
（2）求|x-3|+|x+1|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当-1≤x≤3时，|x-3|+|x+1|有最小值．
（3）由于x-3及x+1的符号不能确定，故应分x＞3，x≤-1≤3，x＜-1三种情况解答．

解答：解：（1）根据绝对值的意义可知，此点必在-1与3之间，故x-3＜0，x+1＞0，
∴原式可化为3-x=x+1，
∴x=1；

（2）根据题意，可知当-1≤x≤3时，|x-3|+|x+1|有最小值．
∴|x-3|=3-x，|x+1|=x+1，
∴|x-3|+|x+1|=3-x+x+1=4；

（3）∵|x-3|+|x+1|=7，
若x＞3，则原式可化为（x-3）+（x+1）=7，x=

9

2

；
若x≤-1≤3，则-（x-3）+（x+1）=7，x不存在；
若x＜-1，则-（x-3）-（x+1）=7，x=-

5

2

；
∴x=

9

2

或x=-

5

2

．
故答案为：1，4，x=

9

2

或x=-

5

2

．

点评：本题考查的是绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论的思想．