题目内容
阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为AB．则AB=|a-b|．所以式子|x-3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）若|x-3|=|x+1|，则x=
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；（2）式子|x-3|+|x+1|的最小值为
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；（3）请说出|x-3|+|x+1|=7所表示的几何意义，并求出x的值．
分析：（1）根据绝对值的意义，可知|x-3|是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离，|x+1|是数轴上表示数x的点与表示数-1的点之间的距离，若|x-3|=|x+1|，则此点必在-1与3之间，故x-3＜0，x+1＞0，由此可得到关于x的方程，求出x的值即可；
（2）求|x-3|+|x+1|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当-1≤x≤3时，|x-3|+|x+1|有最小值．
（3）由于x-3及x+1的符号不能确定，故应分x＞3，-1≤x≤3，x＜-1三种情况解答．
（2）求|x-3|+|x+1|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当-1≤x≤3时，|x-3|+|x+1|有最小值．
（3）由于x-3及x+1的符号不能确定，故应分x＞3，-1≤x≤3，x＜-1三种情况解答．
解答：解：（1）根据绝对值的意义可知，此点必在-1与3之间，故x-3＜0，x+1＞0，
∴原式可化为3-x=x+1，
∴x=1；
（2）根据题意，可知当-1≤x≤3时，|x-3|+|x+1|有最小值．
∴|x-3|=3-x，|x+1|=x+1，
∴|x-3|+|x+1|=3-x+x+1=4；
（3）几何意义：在数轴上与3和-1的距离和为7的点对应的x的值．
在数轴上3和-1的距离为4，则满足方程的x的对应点在-1的左边或3的右边．
若x的对应点在-1的左边，则x=-2.5；
若x的对应点在3的右边，则x=4.5．
所以原方程的解是x=-2.5或x=4.5．
故答案为：1，4．
∴原式可化为3-x=x+1，
∴x=1；
（2）根据题意，可知当-1≤x≤3时，|x-3|+|x+1|有最小值．
∴|x-3|=3-x，|x+1|=x+1，
∴|x-3|+|x+1|=3-x+x+1=4；
（3）几何意义：在数轴上与3和-1的距离和为7的点对应的x的值．
在数轴上3和-1的距离为4，则满足方程的x的对应点在-1的左边或3的右边．
若x的对应点在-1的左边，则x=-2.5；
若x的对应点在3的右边，则x=4.5．
所以原方程的解是x=-2.5或x=4.5．
故答案为：1，4．
点评：本题考查的是绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论的思想．
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