Question

已知关于x的一元二次方程x²-x-2m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是

 

；
关于x的方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是

 

；
已知一元二次方程4x²+mx+9=0有两个相等的实数根，则m=

 

，此时相等的两个实数根为

 

．

Answer 1

分析：（1）由方程x²-x-2m=0有两个不相等的实数根，得到△＞0，即△=1²-4×1×（-2m）=1+8m＞0，解不等式即可得到实数m的取值范围；
（2）由关于x的方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0有两个不相等的实数根，则k≠0且△＞0，即△=（k+2）²-4×k×

k

4

=4k+4＞0，解两个不等式即可得到实数m的取值范围；
（3）由方程4x²+mx+9=0有两个相等的实数根，则△=0，即△=m²-4×4×9=0，解得m=±12，然后分别代入原方程解方程即可．

解答：解：（1）∵方程x²-x-2m=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即△=1²-4×1×（-2m）=1+8m＞0，
解得m＞-

1

8

，
∴实数m的取值范围是m＞-

1

8

．
（2）∵关于x的方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即△=（k+2）²-4×k×

k

4

=4k+4＞0，
解得k＞-1，
∴实数k的取值范围是k＞-1且k≠0．
（3）∵方程4x²+mx+9=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即△=m²-4×4×9=0，
解得m=±12，
当m=12，方程变为：4x²+12x+9=0，（2x+3）²=0，
解得x₁=x₂=-

3

2

；
当m=-12，方程变为：4x²-12x+9=0，（2x-3）²=0，
解得x₁=x₂=

3

2

；
故答案为：（1）m＞-

1

8

；（2）k＞-1且k≠0；（3）±12；当m=12，x₁=x₂=-

3

2

；当m=-12，x₁=x₂=

3

2

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义和解法．