Question

【题目】已知,点P是Rt△ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.

(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是________,QE与QF的数量关系是________.

(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明.

(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.

Answer 1

【答案】（1）AE∥BF，QE=QF；（2）QE=QF；（3）仍然成立

【解析】试题分析：（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；

（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；

（3）延长EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．

试题解析：解：（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，理由是：∵Q为AB的中点，∴AQ=BQ，∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，在△AEQ和△BFQ中，∵∠AQE=∠BQF，∠AEQ=∠BFQ，AQ=BQ，∴△AEQ≌△BFQ，∴QE=QF，故答案为：AE∥BF，QE=QF；

（2）QE=QF，证明：如图2，延长EQ交BF于D，∵由（1）知：AE∥BF，∴∠AEQ=∠BDQ，在△AEQ和△BDQ中，∵∠AQE=∠BQF，∠AEQ=∠BFQ，AQ=BQ，∴△AEQ≌△BDQ，∴EQ=DQ，∵∠BFE=90°，∴QE=QF；

（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立．

证明：如图3，延长EQ交FB于D，如图3，

∵由（1）知：AE∥BF，∴∠AEQ=∠BDQ，在△AEQ和△BDQ中，∵∠AQE=∠BQF，∠AEQ=∠BFQ，AQ=BQ，

∴△AEQ≌△BDQ，∴EQ=DQ，∵∠BFE=90°，∴QE=QF．