题目内容

【题目】如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB=4,∠CBA=30°,点D在AO上运动,点E与点D关于AC对称:DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F,下列结论:

①CE=CF;

②线段EF的最小值为

③当AD=1时,EF与半圆相切;

④当点D从点A运动到点O时,线段EF扫过的面积是4

其中正确的序号是

【答案】①③.

【解析】

试题分析:

①连接CD,如图1所示.

∵点E与点D关于AC对称,

∴CE=CD.

∴∠E=∠CDE.

∵DF⊥DE,

∴∠EDF=90°.

∴∠E+∠F=90°,∠CDE+∠CDF=90°.

∴∠F=∠CDF.

∴CD=CF,

∴CE=CD=CF.故①正确.

②当CD⊥AB时,如图所示.

∵AB是半圆的直径,

∴∠ACB=90°.

∵AB=4,∠CBA=30°,

∴∠CAB=60°,AC=2,BC=2

∵CD⊥AB,∠CBA=30°,

∴CD=BC=

根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:

点D在线段AB上运动时,CD的最小值为

∵CE=CD=CF,

∴EF=2CD.

∴线段EF的最小值为2.故②错误.

③当AD=1时,连接OC,如图所示.

∵OA=OC,∠CAB=60°,

∴△OAC是等边三角形.

∴CA=CO,∠ACO=60°.

∵AO=2,AD=1,

∴DO=1.

∴AD=DO,

∴∠ACD=∠OCD=30°,

∵点E与点D关于AC对称,

∴∠ECA=∠DCA,

∴∠ECA=30°,

∴∠ECO=90°,

∴OC⊥EF,

∵EF经过半径OC的外端,且OC⊥EF,

∴EF与半圆相切.故③正确.

④∵点D与点E关于AC对称,

点D与点F关于BC对称,

∴当点D从点A运动到点O时,

点E的运动路径AM与AO关于AC对称,

点F的运动路径NG与AO关于BC对称.

∴EF扫过的图形就是图中阴影部分.

∴S阴影=2S△AOC=2×ACBC=2.故④错误.

故答案为①③.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网