题目内容
【题目】如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB=4,∠CBA=30°,点D在AO上运动,点E与点D关于AC对称:DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F,下列结论:
①CE=CF;
②线段EF的最小值为;
③当AD=1时,EF与半圆相切;
④当点D从点A运动到点O时,线段EF扫过的面积是4.
其中正确的序号是 .
【答案】①③.
【解析】
试题分析:
①连接CD,如图1所示.
∵点E与点D关于AC对称,
∴CE=CD.
∴∠E=∠CDE.
∵DF⊥DE,
∴∠EDF=90°.
∴∠E+∠F=90°,∠CDE+∠CDF=90°.
∴∠F=∠CDF.
∴CD=CF,
∴CE=CD=CF.故①正确.
②当CD⊥AB时,如图所示.
∵AB是半圆的直径,
∴∠ACB=90°.
∵AB=4,∠CBA=30°,
∴∠CAB=60°,AC=2,BC=2.
∵CD⊥AB,∠CBA=30°,
∴CD=BC=.
根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:
点D在线段AB上运动时,CD的最小值为.
∵CE=CD=CF,
∴EF=2CD.
∴线段EF的最小值为2.故②错误.
③当AD=1时,连接OC,如图所示.
∵OA=OC,∠CAB=60°,
∴△OAC是等边三角形.
∴CA=CO,∠ACO=60°.
∵AO=2,AD=1,
∴DO=1.
∴AD=DO,
∴∠ACD=∠OCD=30°,
∵点E与点D关于AC对称,
∴∠ECA=∠DCA,
∴∠ECA=30°,
∴∠ECO=90°,
∴OC⊥EF,
∵EF经过半径OC的外端,且OC⊥EF,
∴EF与半圆相切.故③正确.
④∵点D与点E关于AC对称,
点D与点F关于BC对称,
∴当点D从点A运动到点O时,
点E的运动路径AM与AO关于AC对称,
点F的运动路径NG与AO关于BC对称.
∴EF扫过的图形就是图中阴影部分.
∴S阴影=2S△AOC=2×ACBC=2.故④错误.
故答案为①③.