Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD与BE相交于P，BQ⊥AD于Q.

（1）求证：；

（2）若PQ=4，PE=1，求AD的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）9.

【解析】

（1）先根据等边三角形的性质和SAS证明△ABE≌△CAD，可得∠ABE=∠CAD，再利用三角形的外角性质即得结论；

（2）先利用30°角的直角三角形的性质求出BP的长，进而可得BE的长，再利用（1）的结论即可得出答案.

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，

在△ABE和△CAD中，

∴△ABE≌△CAD(SAS)，

∴∠ABE=∠CAD，

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60；

(2) 在Rt△BPQ中，∠BPQ=60°，∴∠PBQ=30°，

∵PQ=4，∴BP=8，

又∵PE=1，∴BE=BP+PE=9，

由(1)得△ABE≌△CAD，∴AD=BE=9.

答：AD长为9.