题目内容
探究与思考：
（1）如图①，∠BPC是△ABP的一个外角，则有结论：∠BPC=∠A+∠B成立．若点P沿着线段PB向点B运动（不与点B重合），连接PC形成图形②，我们称之为“飞镖”图形，那么请你猜想“飞镖”图形中∠BPC与∠A、∠B、∠C之间存在的数量关系？并证明你的猜想；
（2）利用（1）的结论，请你求出五角星（如图③）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值，说明你的理由；
（3）若五角星中的点B向右运动，形成如图④⑤形状，（2）中的结论还成立吗？请从图④⑤中任选一个图形说明理由．
（1）如图①，∠BPC是△ABP的一个外角，则有结论：∠BPC=∠A+∠B成立．若点P沿着线段PB向点B运动（不与点B重合），连接PC形成图形②，我们称之为“飞镖”图形，那么请你猜想“飞镖”图形中∠BPC与∠A、∠B、∠C之间存在的数量关系？并证明你的猜想；
（2）利用（1）的结论，请你求出五角星（如图③）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值，说明你的理由；
（3）若五角星中的点B向右运动，形成如图④⑤形状，（2）中的结论还成立吗？请从图④⑤中任选一个图形说明理由．
分析：（1）连接AP并延长至F，将“飞镖”图形转化为两个三角形，再根据三角形的外角的性质进行解答；
（2）两次运用三角形外角的性质得到∠C+∠E=∠1，∠B+∠D=∠2，相加即可得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
（3）根据三角形外角的性质可知，在△ACG中，∠AGE=∠A+∠C，在△BDF中，∠DFE=∠DBF+∠D，所以，∠A+∠C+∠DBF+∠D+∠E=180°．
（2）两次运用三角形外角的性质得到∠C+∠E=∠1，∠B+∠D=∠2，相加即可得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
（3）根据三角形外角的性质可知，在△ACG中，∠AGE=∠A+∠C，在△BDF中，∠DFE=∠DBF+∠D，所以，∠A+∠C+∠DBF+∠D+∠E=180°．
解答：解：（1）如图②，∠BPC=∠A+∠B+∠C，
连接AP并延长至F，
则有∠B+∠BAP=∠BPF，∠C+∠CAP=∠CPF，
所以∠B+∠C+∠CAP+∠BAP=∠BPF+∠CPF=∠BPC，
即∠B+∠C+∠A=∠BPC，
（2）如图③，∠C+∠E=∠1，∠B+∠D=∠2，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°．
（3）如图④，在△ACG中，∠AGE=∠A+∠C，
在△BDF中，∠DFE=∠DBF+∠D，
所以，∠A+∠C+∠DBF+∠D+∠E=∠AGE+∠DFE+∠E=180°．
连接AP并延长至F，
则有∠B+∠BAP=∠BPF，∠C+∠CAP=∠CPF，
所以∠B+∠C+∠CAP+∠BAP=∠BPF+∠CPF=∠BPC，
即∠B+∠C+∠A=∠BPC，
（2）如图③，∠C+∠E=∠1，∠B+∠D=∠2，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°．
（3）如图④，在△ACG中，∠AGE=∠A+∠C，
在△BDF中，∠DFE=∠DBF+∠D，
所以，∠A+∠C+∠DBF+∠D+∠E=∠AGE+∠DFE+∠E=180°．
点评：本题考查了三角形外角的性质，从图中找到相关三角形及其外角是解题的关键．
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