题目内容
【题目】如图1，在三角形
中，把
绕点
顺时针旋转
得到
，把
绕点逆时针旋转，得到
,连接
，过点作
的垂线，交于点
，交于点
.
（特例尝试）如图2，当
时，
①求证：
；
②猜想与
的数量关系并说明理由.
（理想论证）在图1中，当
为任意三角形时，②中与的数量关系还成立吗？请给予证明.
（拓展应用）如图3，直线
与
轴，
轴分别交于、
两点，分别以
，为直角边在第二、一象限内作等腰
和等腰
，连接
，交轴于点
.试猜想
的长是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.
【答案】[特例尝试]①见解析，②
，理由见解析；[理想论证]成立，证明见解析；[拓展应用]是定值，
.
【解析】
[特例尝试]①根据垂直的定义可得∠BAD=∠CAE=90°，用360°减去其它三个角即可证得
；②根据旋转的性质易证△BAC≌△DAE(SAS)，然后根据全等三角形对应边相等可得BC=DE,根据全等三角形对应角相等结合同角的余角相等可证∠DAG=∠EDA，根据等角对等边可证DG=AG，同理证明GE=AG即可证明；
[理想论证]过点
作
,交
延长线于点
，过点
做
,交于点
，通过证明三角形全等，根据全等三角形的性质可证；
[拓展应用]利用一次函数求得AO的长度，结合[理想论证]可知
.
[特例尝试]①证明：∵BA⊥AD,AC⊥AE
∴∠BAD=∠CAE=90°，
又∵
∴
②，证明如下：
由旋转的性质可得AD=AB，AE=AC，
又∵
，
∴△BAC≌△DAE(SAS)
∴∠EDA=∠CBA,∠DEA=∠BCA，BC=DE，
∵GF⊥BC，
∴∠CAF+∠ACB=90°，∠ABC+∠ACB=90°
∴∠ABC=∠CAF=∠DAG=∠EDA,
∴DG=AG，
同理可证GE=AG,
∴
.
[理想论证]成立，理由如下：
过点作,交延长线于点，过点做,交于点.
∵
∴
,
∵
∴
∴
∵
∴
∴
,
同理可得
,
∴
∵
∴
∴
∵
∴
[拓展应用]对于一次函数
，当y=0时，即
，
解得
,
∴
,
由题[理想论证]可知.
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