Question

如图，直线y=x+b的双曲线y=

m

x

(x＜0)交于点A（-1，-5），并分别与x轴、y轴交于点C、B．
（1）写出b、m的值；
（2）连结OA，求∠OAB的正切值；
（3）点D在x轴的正半轴上，若以点D、C、B组成的三角形与△OAB相似，试求点D的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）直接将A点代入求出b，m的值即可；
（2）利用勾股定理得出FO，AO，AF的长，进而求出答案；
（3）利用图形得出当△AOB∽DBC时，以及当△AOB∽BD′C时，分别求出即可．

解答：解：（1）∵直线y=x+b的双曲线y=

m

x

(x＜0)交于点A（-1，-5），
∴-1+b=-5，m=（-1）×（-5）=5，
∴解得：b=-4，m=5；

（2）如图1，过点A作AE⊥y轴于点E，过点O作OF⊥BC于点F，
∵A（-1，-5），
∴AE=1，EO=5，∴AO=

26

，
∵y=x-4，
∴图象与x轴交点坐标为：（4，0），与y轴交点坐标为：（0，-4），
∴CO=OB=4，
又∵OF⊥BC，
∴FO=

1

2

BC=

1

2

42+42

=2

2

，
∴AF=

26-(2 2 )2

=3

2

，
∴∠OAB的正切值为：tan∠OAB=

OF

AF

=

2

3

；

（3）解：如图2所示：过点A作AE⊥y轴于点E，
∵CO=OB=4，∠COB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠ABE=45°，∠BCD=135°，
∴∠ABO=135°，
∵AB=

12+12

=

2

，BO=4，BC=4

2

，
当△AOB∽DBC时，

AB

CD

=

BO

BC

，
∴

2

CD

=

4

4 2

，
解得：CD=2，
∴DO=6，
∴D点坐标为：（6，0），
当△AOB∽BD′C时，

AB

BC

=

BO

CD′

，
∴

2

4 2

=

4

CD′

，
解得：CD′=16，
∴D′O=16+4=20，
∴D′点坐标为：（20，0），
故符合要求的D点坐标为：（6，0），（20，0）．

点评：此题主要考查了反比例函数综合以及勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．