Question

如图，在边长为3的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，以O为圆心，以OE为半径画弧EF．P是上的一个动点，连接OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作⊙O的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G．若，则BK﹦    ．

Answer 1

【答案】分析：此题可以分别从若OP的延长线与射线AB的延长线相交于H与若OP的延长线与射线DC的延长线相交于H去分析，利用切线与正方形的性质，可求得∠H-∠BGM，然后根据三角函数的知识，求得AH的长，继而可得BK的长．注意不要漏解．
解答：解：（1）若OP的延长线与射线AB的延长线相交，设交点为H．如图1，
∵MG与⊙O相切，
∴OK⊥MG．
∴KPG=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠HBK=90°，
∵∠BKH=∠PKG，
∴∠MGB=∠BHK．
∵=4，
∴tan∠BHK=tan∠BGM==．
∵tan∠BHK=，
∵O是AD的中点，
∴AO=，
∴AH=4AO=4×=6，
∴BH=4BK．
∵AB=3，
∴BH=AH-AB=6-3=3，
∴BK=×3=．

（2）若OP的延长线与射线DC的延长线相交，设交点为H．如图2，
同理可求得BK=．
综上可得：BK=或．
故答案为：或．
点评：此题考查了正方形的性质、切线的性质以及三角函数的知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是根据题意，利用分类讨论思想求解，注意数形结合思想的应用．