题目内容

请阅读下面材料:
 是抛物线(a ≠ 0)上不同的两点,证明直线为此抛物线的对称轴.
有一种方法证明如下:



 
证明:∵是抛物线(a ≠ 0)上不同的两点,       

     ∴        且
①-②得 .
.
.
又∵ 抛物线(a ≠ 0)的对称轴为
∴ 直线为此抛物线的对称轴.
(1)反之,如果 是抛物线(a ≠ 0)上不同的两点,直线为该抛物线的对称轴,那么自变量取时函数值相等吗?写出你的猜想,并参考上述方法写出证明过程;
(2)利用以上结论解答下面问题:
已知二次函数当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等,求x = 2012时的函数值.

(1)略
(2)2011解析:
解:(1)结论:自变量取时函数值相等. …………………1分
证明:∵为抛物线上不同的两点,



 
              由题意得         且

          ①-②,得 .
……………………………………………………………2分
∵ 直线是抛物线(a ≠ 0)的对称轴,
.
.
,即.………………3分
(阅卷说明:其他代数证明方法相应给分;直接利用抛物线的对称性而
没有用代数方法进行证明的不给分)
(2)∵ 二次函数当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等,
∴ 由阅读材料可知二次函数的对称轴为直线.
.
∴ 二次函数的解析式为. …………………………………4分

由(1)知,当x = 2012的函数值与时的函数值相等.
∵ 当x =时的函数值为
∴ 当x =" 2012" 时的函数值为2011. …………………………………………
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