题目内容

请阅读下面材料：
若A（x1，y），B（x2，y） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线为此抛物线的对称轴．
有一种方法证明如下：
①②
证明：∵A（x1，y），B（x2，y） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点
∴且 x1≠x2．
①-②得 a（x12-x22）+b（x1-x2）=0．
∴（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0．
∴
又∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为，
∴直线为此抛物线的对称轴．
（1）反之，如果M（x1，y1），N（x2，y2） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，直线为该抛物线的对称轴，那么自变量取x1，x2时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
（2）利用以上结论解答下面问题：
已知二次函数y=x2+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，求x=2012时的函数值．
【答案】分析：（1）由题意得出且x1≠x2，再由直线的对称轴得出结论：自变量取x1，x2时函数值相等．
（2）由题意求得b，得出二次函数的解析式为y=x2-2011x-1．再由（1）得，当x=2012时的函数值为2011．
解答：解：（1）结论：自变量取x1，x2时函数值相等．
证明：∵M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y=ax2+bx+c上不同的两点，
由题意得且x1≠x2
①-②，得y1-y2=a（x12-x22）+b（x1-x2）=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．
∵直线是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，
∴．
∴．
∴y1-y2=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0，即y1=y2；

（2）∵二次函数y=x2+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，
∴由阅读材料可知二次函数y=x2+bx-1的对称轴为直线．
∴，b=-2011．
∴二次函数的解析式为y=x2-2011x-1．
∵，
由（1）知，当x=2012的函数值与x=-1时的函数值相等．
∵当x=-1时的函数值为（-1）2-2011×（-1）-1=2011，
∴当x=2012时的函数值为2011．
点评：本题是一道阅读题，考查了二次函数的性质和图象上点的特点，综合性较强，难度较大．
练习册系列答案
相关题目
请阅读下面材料：
若A（x1，y0），B（x2，y0） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线x=
x1+x2
2
为此抛物线的对称轴．
有一种方法证明如下：
①②
证明：∵A（x1，y0），B（x2，y0） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点
∴
y0=a
x
2
1
+bx1+c①
y0=a
x
2
2
+bx2+c②
且 x1≠x2．
①-②得 a（x12-x22）+b（x1-x2）=0．
∴（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0．
∴x1+x2=-
b
a

又∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-
b
2a
，
∴直线x=
x1+x2
2
为此抛物线的对称轴．
（1）反之，如果M（x1，y1），N（x2，y2） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，直线x=
x1+x2
2
为该抛物线的对称轴，那么自变量取x1，x2时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
（2）利用以上结论解答下面问题：
已知二次函数y=x2+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，求x=2012时的函数值．
请阅读下面材料：
若A（x1，y0），B（x2，y0） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线x=
x1+x2
2
为此抛物线的对称轴．
有一种方法证明如下：
①②
证明：∵A（x1，y0），B（x2，y0） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点
∴
y0=a
x21
+bx1+c①
y0=a
x22
+bx2+c②
且 x1≠x2．
①-②得 a（x12-x22）+b（x1-x2）=0．
∴（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0．
∴x1+x2=-
b
a

又∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-
b
2a
，
∴直线x=
x1+x2
2
为此抛物线的对称轴．
（1）反之，如果M（x1，y1），N（x2，y2） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，直线x=
x1+x2
2
为该抛物线的对称轴，那么自变量取x1，x2时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
（2）利用以上结论解答下面问题：
已知二次函数y=x2+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，求x=2012时的函数值．
请阅读下面材料：
若， 是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线为此抛物线的对称轴.
有一种方法证明如下：

①
②

 
证明：∵，是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，       

     ∴        且 ≠. 
①-②得 .
∴.
∴.
又∵ 抛物线（a ≠ 0）的对称轴为，
∴ 直线为此抛物线的对称轴.
（1）反之，如果， 是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，直线为该抛物线的对称轴，那么自变量取，时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
（2）利用以上结论解答下面问题：
已知二次函数当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.

请阅读下面材料：
若， 是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线为此抛物线的对称轴.
有一种方法证明如下：

①
②

 
证明：∵，是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，       

     ∴        且 ≠. 
①-②得 .
∴.
∴.
又∵ 抛物线（a ≠ 0）的对称轴为，
∴ 直线为此抛物线的对称轴.
（1）反之，如果， 是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，直线为该抛物线的对称轴，那么自变量取，时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
（2）利用以上结论解答下面问题：
已知二次函数当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.

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