Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B=30°，延长BA到D，使∠BDC=30°．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求DC的长．

Answer 1

分析：（1）根据切线的判定方法，只需证CD⊥OC．所以连接OC，证∠OCD=90°．
（2）易求半径OC的长．在Rt△OCD中，运用三角函数求CD．

解答：（1）证明：连接OC．
∵OB=OC，∠B=30°，
∴∠OCB=∠B=30°．
∴∠COD=∠B+∠OCB=60°．                 （1分）
∵∠BDC=30°，
∴∠BDC+∠COD=90°，DC⊥OC．             （2分）
∵BC是弦，
∴点C在⊙O上，
∴DC是⊙O的切线，点C是⊙O的切点．       （3分）

（2）解：∵AB=2，
∴OC=OB=

AB

2

=1．                           （4分）
∵在Rt△COD中，∠OCD=90°，∠D=30°，
∴DC=

3

OC=

3

．                           （5分）

点评：本题考查了切线的判定，证明经过圆上一点的直线是圆的切线，常作的辅助线是连接圆心和该点，证明直线和该半径垂直．