题目内容

【题目】在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°.

(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG(如图①),求证:△AEG≌△AEF;

(2)若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M,N(如图②),求证:EF2=ME2+NF2

(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变(如图③),请你直接写出线段EF,BE,DF之间的数量关系.

【答案】证明见解析

【解析】

试题分析:(1)根据旋转的性质可知AF=AG,∠EAF=∠GAE=45°,故可证△AEG≌△AEF;

(2)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM.由(1)知△AEG≌△AEF,则EG=EF.再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形,得出CE=CF,BE=BM,NF=DF,然后证明∠GME=90°,MG=NF,利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2,等量代换即可证明EF2=ME2+NF2

(3)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG,则DF=BG,再证明△AEG≌△AEF,得出EG=EF,由EG=BG+BE,等量代换得到EF=BE+DF.

试题解析:(1)∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,

∴AF=AG,∠FAG=90°,

∵∠EAF=45°,

∴∠GAE=45°,

在△AGE与△AFE中,

∴△AGE≌△AFE(SAS);

(2)设正方形ABCD的边长为a.

将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM.

则△ADF≌△ABG,DF=BG.

由(1)知△AEG≌△AEF,

∴EG=EF.

∵∠CEF=45°,

∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形,

∴CE=CF,BE=BM,NF=DF,

∴a﹣BE=a﹣DF,

∴BE=DF,

∴BE=BM=DF=BG,

∴∠BMG=45°,

∴∠GME=45°+45°=90°,

∴EG2=ME2+MG2

∵EG=EF,MG=BM=DF=NF,

∴EF2=ME2+NF2

(3)EF2=2BE2+2DF2

如图所示,延长EF交AB延长线于M点,交AD延长线于N点,

将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△AGH,连结HM,HE.

由(1)知△AEH≌△AEF,

则由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2

即(GH+BE)2+(BM﹣GM)2=EH2

又∴EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE﹣GH)2=EF2

即2(DF2+BE2)=EF2

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