Question

如图，已知在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长于点F．
（1）求证：CD=FA；
（2）若∠B=∠F，连接AC、DF，所得到的四边形AFDC是什么四边形？
（3）若使∠F=∠BCF，平行四边形ABCD的边长之间还需要添加一个什么条件？请你补上这个条件，并进行证明（不要添加辅助线）

Answer 1

（1）证明：平行四边形ABCD中，CD∥BA，
∵点F在线段BA的延长线上，
∴CD∥BF，
∴∠CDE=∠FAE．
又∵E为AD的中点，
∴DE=AE．
在△CDE和△FAE中，
，
∴△CDE≌△FAE（ASA），
∴CD=FA（全等三角形的对应边相等）；

（2）四边形AFDC是矩形．理由如下：
由（1）知，CD=FA．CD∥AF，则四边形AFDC是平行四边形．
∵∠B=∠BFC，
∴BC=FC．
又∵BC=AD，
∴FC=AD，
∴平行四边形AFDC是矩形；

（3）要使∠F=∠BCF，需平行四边形ABCD的边长之间是2倍的关系，即BC=2AB，
证明：∵由（1）知，△CED≌△FEA，
∴CD=AF．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB．
∴AB=AF，即BF=2AB．
∵BC=2AB．
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF．
分析：（1）通过全等三角形：△CDE≌△FAE，的对应边相等证得结论；
（2）四边形AFDC是矩形．由平行四边形ABCD的对边BC=AD、等腰△BCF的两腰BC=CF，则四边形AFDC的对角线CF=AD；
（3）由（1）易证得BF=2AB，可得当BC=2AB时，即BC=BF时，∠F=∠BCF．
点评：此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．