Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．

（1）b= ， c= ， 点B的坐标为；（直接填写结果）
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）-2；-3；（﹣1，0）
（2）

解：存在．

理由：如图所示：

①当∠ACP1=90°．

由（1）可知点A的坐标为（3，0）．

设AC的解析式为y=kx﹣3．

∵将点A的坐标代入得3k﹣3=0，解得k=1，

∴直线AC的解析式为y=x﹣3．

∴直线CP1的解析式为y=﹣x﹣3．

∵将y=﹣x﹣3与y=x2﹣2x﹣3联立解得x1=1，x2=0（舍去），

∴点P1的坐标为（1，﹣4）．

②当∠P2AC=90°时．

设AP2的解析式为y=﹣x+b．

∵将x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得b=3．

∴直线AP2的解析式为y=﹣x+3．

∵将y=﹣x+3与y=x2﹣2x﹣3联立解得x1=﹣2，x2=3（舍去），

∴点P2的坐标为（﹣2，5）．

综上所述，P的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）．

（3）

解：如图2所示：连接OD．

由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．

根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在Rt△AOC中，

∵OC=OA=3，OD⊥AC，

∴D是AC的中点．

又∵DF∥OC，

∴ ．

∴点P的纵坐标是 ．

∴ ，解得： ．

∴当EF最短时，点P的坐标是：（ ， ）或（ ， ）．

【解析】解：（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得： ，解得：b=﹣2，c=﹣3．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
∵令x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3．
∴点B的坐标为（﹣1，0）．
故答案为：﹣2；﹣3；（﹣1，0）．
（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得点B的坐标；（2）分别过点C和点A作AC的垂线，将抛物线与P1 ， P2两点先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A与抛物线的交点坐标即可；（3）连接OD．先证明四边形OEDF为矩形，从而得到OD=EF，然后根据垂线段最短可求得点D的纵坐标，从而得到点P的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标．