题目内容
如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2cm，AB＝8cm，CD＝10cm．
(1)求梯形ABCD的周长；
(2)动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：
在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
(1) 28cm(2) 当t=
或8≤t＜10或10＜t≤12时，以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形
解析:解：（1）过点D作DE⊥BC于点E
∵四边形ABCD是直角梯形
∴四边形ABED是矩形
∴AD=BE=2，AB=DE=8
在Rt△DEC中，CE=
=
=6
∴梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=8+8+10+2=28cm.
………3分
（2） ① 当0≤t≤8时，过点Q作QG⊥AB于点G
则AP=8－t，DQ=10－t，AD=2，
∵Rt△CQF∽Rt△CDE
∴CF=
，QF=
，∴PG=
=
，QG=8－
=（8－t）2+22=t2－16t+68，
PQ2=QG2+PG2=（8－）2+（）2=
若DQ=PD，则（10－t）2= t2－16t+68，解得：t=8；…………………5分
若DQ=PQ，则（10－t）2=，
解得：t1= ，t2=
＞8（舍去），此时t=；………6分
②当8＜t＜10时，PD=DQ=10－t，
∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；……………………7分
③当t=10时，点P、D、Q三点重合，无法构成三角形；………………………8分
④当10＜t≤12时，PD=DQ= t－10，
∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立； ………………………9分
综上所述，当t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形. ………………………10分
（1）过点D作DE⊥BC于点E，然后求出AD=BE=2，AB=DE=8，在Rt△DEC中，根据CE= 
求出CE，即可求出BC的长，从而求得梯形ABCD的周长
（2）（i）当0≤t≤8时，过点Q作QG⊥AB于点G，过点Q作QF⊥CB于点F，根据△CQF∽△CDE得出
，所以CF= 
，QF= 
，所以PG=t=
，QG=8-，然后分别用t表示出PD2=t2-16t+68，PQ2=
+64，若DQ=PD，则（10-t）2=t2-16t+68，若DQ=PQ，则（10-t）2=+64，最后解方程即可；
（ii）当8＜t＜10时，PD=DQ=10-t，此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；而当t=10时，点P、D、Q三点重合，无法构成三角形，当10＜t≤12时，PD=DQ= t－10，此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立，从而得出最后答案；
如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，∠A=90°，BC=DC=4，AC、BD交于E，且EF=ED．
21、当我们遇到梯形问题时，我们常用分割的方法，将其转化成我们熟悉的图形来解决：
如图，已知直角梯形的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个边长为8cm的等边三角形，则梯形的中位线长为 （ ）
如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＜BC），∠B=90°，AB=AD+BC．点E是CD的中点，点F是AB上的点，∠ADF=45°，FE=a，梯形ABCD的面积为m．
如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=60°，BC=12cm，DC=16cm，动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动．P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止．设运动时间为t秒，△PQB的面积为y cm2．