题目内容
【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BD=4,CD=2,∠ADB=3∠ABD,则AD= .
【答案】.
【解析】
试题分析:如图,作BD的垂直平分线,交AB于点E,连接DE,设∠ABD=α,证明∠AED=∠ADE=2α,AE=AD;证明AE=2BE(设为2λ),得到AD=AE=2λ;利用勾股定理,可证明4λ2﹣4=9λ2﹣36,解得:λ=,求出AD即可解决问题.
解:如图,作BD的垂直平分线,交AB于点E,连接DE,设∠ABD=α,设BE=λ,
则BE=DE=λ,BF=DF=2,CF=4;
∴∠ABD=∠EDB=α;
∵∠AED=∠ABD+∠EDB=2α,∠ADB=3∠ABD=3α,
∴∠AED=∠ADE=2α,AE=AD;
∵EF⊥BC,AC⊥BC,
∴EF∥AC,==2,
∴AE=2BE=2λ,
∴AD=AE=2λ;
由勾股定理得:
AC2=AD2﹣DC2=4λ2﹣4,
AC2=AB2﹣BC2=9λ2﹣36,
∴4λ2﹣4=9λ2﹣36,
解得:λ=,
∴AD=,
故答案为:.
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