Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+3x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB=OC=4．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF=4：3时，求点D的坐标．
（3）如图2，点E的坐标为（0，-2），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D的坐标为（1，6）或（3，4）；（3）（）、（）、（-）、（-）．

【解析】

（1）先根据OB=OC=4．可求得点B、C的坐标，代入y=ax2+3x+c即可求得抛物线解析式；
（2）先运用待定系数法求直线BC解析式，再根据S△COF：S△CDF=4：3，可求得点D、F的横坐标数量关系，根据点F在直线BC上即可表示点F坐标，再运用待定系数法求得直线OF解析式，根据点D在直线OF上即可表示出D的坐标，代入抛物线解析式即可求得点D的坐标；
（3）分四种情况：①当∠PEB=2∠OBE，且点P在x轴上方时，先要构造∠EFO=2∠OBE，可得tan∠OFE=，再利用解直角三角形知识和解方程组即可求得点P坐标；②当∠PEB=2∠OBE，且点P在x轴下方时，③当∠PBE=2∠OBE，且点P在x轴上方时，④当∠PBE=2∠OBE，且点P在x轴下方时；方法相似．

解：（1）∵OB=OC=4，
∴B（4，0），C（0，4），

把B（4，0），C（0，4）代入y=ax2+3x+c，得，解得
∴抛物线的函数解析式为y=-x2+3x+4；
（2）如图1，设直线BC解析式为y=kx+b，则 ，解得
∴直线BC解析式为y=-x+4，
令点D、F的横坐标分别为xD，xF，
∵S△COF：S△CDF=4：3，
∴S△COF=S△COD，即OCxF=×OCxD，
∴xD=xF，
设点D横坐标为7t，点F横坐标为4t，∵点F在直线BC上，
∴F（4t，4-4t），
设直线OF解析式为y=k′x，则4-4t=4tk′，
∴k′=，
∴直线OF解析式为y=x，
∵点D在直线OF上，
∴D（7t，7-7t），
将D（7t，7-7t）代入y=-x2+3x+4中，得7-7t=-（7t）2+3×7t+4，解得：t1=，t2=，

∴D的坐标为（1，6）或（3，4）；
（3）①当∠PEB=2∠OBE，且点P在x轴上方时，如图2，作BE的垂直平分线交OB于F，连接EF，
在∠BEO内部作射线EP交x轴于G，交抛物线于P，使∠PEB=∠EFO，
过点G作GH⊥BE于H，则BF=EF，设BF=EF=m，
∴OF=OB-BF=4-m
在Rt△OEF中，∠EOF=90°，∵OE2+OF2=EF2
∴22+（4-m）2=m2，解得：m=，
∴BF=EF=，OF=4-=，
∴tan∠OBE=，tan∠OFE= ，
∵BF=EF
∴∠BEF=∠OBE
∵∠OFE=∠BEF+∠OBE
∴∠OFE=2∠OBE
∵∠PEB=2∠OBE
∴∠PEB=∠OFE
∴tan∠PEB=，设GH=4a，则EH=3a，
∴BE=，BH=2-3a
∵=tan∠∠OBE=，
∴ ，解得：a= ，
∴GH= ，BH=
∴BG=
∴OG=OB-BG=4-=，
∴G（，0），
设直线EG解析式为y=k″x+b″，则 ，解得，
∴直线EG解析式为y=x-2，
联立方程组 ，解得： （舍去），，

∴P（），
②当∠PEB=2∠OBE，且点P在x轴下方时，如图3，过点E作EF⊥y轴，作点B关于直线EF的对称点G，连接BG交EF于F，
射线EG交抛物线于点P，
∵E（0，-2），
∴直线EF为：y=-2
∵B（4，0），
∴G（4，-4）
∴直线EG解析式为y=-x-2，
解方程组，得 ， （不符合题意，舍去），
∴P（ ）；
③当∠PBE=2∠OBE，且点P在x轴上方时，如图4，

在y轴正半轴上截取OF=OE=2，作射线BF交抛物线于P，
在△BOE和△BOF中，
∴△BOE≌△BOF（SAS）
∴∠PBO=∠OBE
∴∠PBE=2∠OBE
易求得直线PF解析式为y=-x+2，
联立方程组 ，解得 （不符合题意，舍去）， ，
∴P（-）；
④当∠PBE=2∠OBE，且点P在x轴下方时，如图5，

过点E作EF⊥BE交直线BP于F，过F作FG⊥y轴于G，
由①知：tan∠PBE= ，BE=2
∴EF=
∵∠EGF=∠BOE=∠BEF=90°
∴∠BEO+∠FEG=∠BEO+OBE=90°
∴∠FEG=∠OBE
∴△EFG∽△BEO
∴ ，即
∴FG=，EG=
∴OG=OE+EG=2+=
∴F（，-）
易求得直线BF解析式为y=x-22，
联立方程组 ，解得（舍去）， ，
∴P（-）；
综上所述，符合条件的点P的坐标为：（）、（）、（-）、（-）．