Question

在平面直角坐标系中，A点坐标为（-1，-2），B点坐标为（5，4）．已知抛物线y=x²-2x+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先利用待定系数法得到直线AB的解析式为y=x-1，然后讨论：当直线AB与抛物线y=x²-2x+c相切时，抛物线y=x²-2x+c与y轴的交点最高，即c的值最大，由两个解析式得关于x的一元二次方程，令△=0求出c；当抛物线y=x²-2x+c过B点时，抛物线y=x²-2x+c与y轴的交点最低，即c的值最小，把B（5，4）代入y=x²-2x+c可求出c的值，最后确定c的范围．

解答：解：如图，
抛物线y=x²-2x+c与y轴的交点坐标为（0，c），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（-1，-2），B（5，4）代入得，-k+b=-2，5k+b，解得k=1，b=-1，
∴直线AB的解析式为y=x-1，
当直线AB与抛物线y=x²-2x+c相切时，抛物线y=x²-2x+c与y轴的交点最高，即c的值最大，
把y=x-1代入y=x²-2x+c得，x²-3x+c+1=0，则△=0，即9-4（c+1）=0，解得c=

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；
当抛物线y=x²-2x+c过B点时，抛物线y=x²-2x+c与y轴的交点最低，即c的值最小，
把B（5，4）代入y=x²-2x+c得，25-10+c=4，解得c=-11．
∴c的取值范围为-11≤x≤

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故答案为-11≤x≤

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4

．

点评：本题考查了二次函数的综合题：抛物线与直线相切转化为一元二次方程有等根的问题，即△=0．也考查了数形结合的数学思想的运用．