题目内容

如图1，过△ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为△ABC的边BC上的折合矩形．
（1）若△ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为______；
（2）如图4，已知△ABC，在图4中画出△ABC的边BC上的折合矩形EFGH；
（3）如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC边上的高AD=______，正方形EFGH的对角线长为______
【答案】分析：（1）根据折叠得出△DEF≌△AEF，△BEH≌△DEH，△CFG≌△DFG，求出矩形EFGH的面积是S△DEF+S△DEH+S△DFG=S△ABC，代入求出即可；
（2）根据已知和折叠性质，结合图2画出即可；
（3）根据折叠性质得出△AEF边EF上高和△DEF边EF上高相等，DH=BH，DG=GC，求出HG=BC，根据正方形的性质求出EF=FG=GH=EH=a，即可求出AD，由勾股定理求出正方形EFGH的对角线即可．
解答：解：（1）∵沿EF折叠A与D重合，
∴△DEF≌△AEF，
∵△BED和△CFD都是等腰三角形，再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，
∴△BEH≌△DEH，△CFG≌△DFG，
∴矩形EFGH的面积是S△DEF+S△DEH+S△DFG=S△ABC=×6=3，
故答案为：3．

（2）如右图所示：

（3）∵根据折叠得出△BEH≌△DEH，△CFG≌△DFG，BC=2a，
∴△AEF边EF上高和△DEF边EF上高相等，DH=BH，DG=GC，
∴HG=BC=a，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=FG=GH=EH=a，
则AD=2EH=2a，
由勾股定理得：正方形EFGH的对角线是：=a，
故答案为：2a，a．
点评：本题考查了正方形性质、折叠性质、勾股定理的应用，通过做此题培养了学生的观察图形的能力和计算能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
练习册系列答案
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如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：
S△ABC=
1
2
ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；
（3）是否存在抛物线上一点P，使S△PAB=
9
8
S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若精英家教网不存在，请说明理由．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B为抛物线与y轴的交点，求直线AB的解析式；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴分别交AB、x轴于点D、M，连接PA、PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；
（4）在（2）的条件下，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h、面积为S，请分别写出h和S关于x的函数关系式．
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ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答下列问题：精英家教网
如图2，抛物线顶点坐标为点C（-1，-4），交x轴于点A（-3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线（在第三象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；
（3）是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2012•龙岩）如图1，过△ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为△ABC的边BC上的折合矩形．
（1）若△ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为
3
3
；
（2）如图4，已知△ABC，在图4中画出△ABC的边BC上的折合矩形EFGH；
（3）如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC边上的高AD=
2a
2a
，正方形EFGH的对角线长为
2
a
2
a
．
阅读材料：
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（2）若点B为抛物线与y轴的交点，求直线AB的解析式；
（3）设点P是抛物线（第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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