题目内容

【题目】如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是射线CB上的一个动点,把△DCE沿DE折叠,点C的对应点为C′.

(1)若点C′刚好落在对角线BD上时,BC′=
(2)当B C′∥DE时,求CE的长;
(3)若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时,求CE的长.

【答案】
(1)4
(2)

解:如图2,由折叠得,∠CED=∠C′ED,

∵BC′∥DE,

∴∠EC′B=∠C′ED,∠CED=∠C′BE,

∴∠EC′B=∠C′EB,

∴BE=C′E=EC=4;


(3)

解:作AD的垂直平分线,交AD于点M,交BC于点N,分两种情况讨论:

①当点C′在矩形内部时,如图3,

∵点C′在AD的垂直平分线上,

∴DM=4,

∵DC′=6,

∴由勾股定理得:MC′=2

∴NC′=6﹣2

设EC=x,则C′E=x,NE=4﹣x,

∵NC′2+NE2=C′E2

∴(6﹣2 2+(4﹣x)2=x2

解得:x=9﹣3

即CE=9﹣3

②当点C′在矩形外部时,如图4,

∵点C′在AD的垂直平分线上,

∴DM=4,

∵DC′=6,

∴由勾股定理得:MC′=2

∴NC′=6+2

设EC=y,则C′E=y,NE=y﹣4,

∵NC′2+NE2=C′E2

∴(6+2 2+(y﹣4)2=y2

解得:y=9+3

即CE=9+3

综上所述,CE的长为9±3


【解析】解:(1)如图1,由折叠可得DC'=DC=6,
∵∠C=90°,BC=8,
∴Rt△BCD中,BD=10,
∴BC′=10﹣6=4.
所以答案是4;

【考点精析】解答此题的关键在于理解翻折变换(折叠问题)的相关知识,掌握折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等.

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