题目内容
【题目】如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是射线CB上的一个动点,把△DCE沿DE折叠,点C的对应点为C′.
(1)若点C′刚好落在对角线BD上时,BC′=;
(2)当B C′∥DE时,求CE的长;
(3)若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时,求CE的长.
【答案】
(1)4
(2)
解:如图2,由折叠得,∠CED=∠C′ED,
∵BC′∥DE,
∴∠EC′B=∠C′ED,∠CED=∠C′BE,
∴∠EC′B=∠C′EB,
∴BE=C′E=EC=4;
(3)
解:作AD的垂直平分线,交AD于点M,交BC于点N,分两种情况讨论:
①当点C′在矩形内部时,如图3,
∵点C′在AD的垂直平分线上,
∴DM=4,
∵DC′=6,
∴由勾股定理得:MC′=2 ,
∴NC′=6﹣2 ,
设EC=x,则C′E=x,NE=4﹣x,
∵NC′2+NE2=C′E2,
∴(6﹣2 )2+(4﹣x)2=x2,
解得:x=9﹣3 ,
即CE=9﹣3 ;
②当点C′在矩形外部时,如图4,
∵点C′在AD的垂直平分线上,
∴DM=4,
∵DC′=6,
∴由勾股定理得:MC′=2 ,
∴NC′=6+2 ,
设EC=y,则C′E=y,NE=y﹣4,
∵NC′2+NE2=C′E2,
∴(6+2 )2+(y﹣4)2=y2,
解得:y=9+3 ,
即CE=9+3 ,
综上所述,CE的长为9±3 .
【解析】解:(1)如图1,由折叠可得DC'=DC=6,
∵∠C=90°,BC=8,
∴Rt△BCD中,BD=10,
∴BC′=10﹣6=4.
所以答案是4;
【考点精析】解答此题的关键在于理解翻折变换(折叠问题)的相关知识,掌握折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等.