题目内容
(2010•古冶区一模)如图所示,某地计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造.已知△ABC的边BC长120米,高AD长80米,计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分,其中矩形EFGH的一边EF在边BC上.其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上.现计划在△AHG上种花,每平方米投资12元;在△BHE、△FCG上都种草,每平方米投资8元;在矩形EFGH上兴建爱心鱼塘,每平方米投资5元,设矩形的一边FG长为x米.(1)用含x的式子表示矩形的一边HG的长度;
(2)为了美观,若要将爱心鱼塘建成正方形,这个鱼塘的边长是多少?
(3)当种草的面积与种花的面积相等时,求FG的长;
(4)根据设计要求HG的长度不<FG的长度,求当矩形EFGH的边FG为多少米时,△ABC空地改造总投资最小?最小值为多少?
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230050414094921/SYS201310212300504140949024_ST/images0.png)
【答案】分析:(1)根据HG∥BC,判断出△AHG∽△ABC,利用相似三角形的对应边成比例的性质解答;
(2)根据鱼塘长宽相等列出方程解答;
(3)转化为三角形的面积,利用三角形的面积公式列出方程解答;
(4)根据改造后的总投资与矩形EFGH的面积之间的关系列出函数关系式,转化为二次函数最小值问题解答.
解答:解:(1)∵FG=x,则AK=80-x(1分)
由△AHG∽△ABC,BC=120,AD=80,
可得:
=
,
∴HG=120-
x.
(2)若四边形EFGH为正方形,则FG=HG,
即x=120-
x,解得x=48.
∴这个鱼塘的边长是48米时,建成正方形.
(3)∵BE+FC=120-(120-
x)=
x,
∴
•(120-
x)•(80-x)=
×
x•x,解得x=40.
∴当FG的长为40米时,种草的面积和种花的面积相等.
(4)设改造后的总投资为W元,
W=
•(120-
x)•(80-x)+
×
x•x•8+x(120-
x)•5=7.5x2-840x+57600,
∴当x=-
=
=56时,W的值最小.
因为根据设计要求HG≥FG,即120-
x≥x,x≤48,
∴当x=48时,W最小=7.5×482-840×48+57600=34560.
∴当矩形EFGH的边FG长为48米时,空地改造的总投资最小,最小值为34560元.(12分)
点评:此题是一道综合性应用题,涉及三角形面积、四边形面积、二次函数最值等问题,难度较大.
(2)根据鱼塘长宽相等列出方程解答;
(3)转化为三角形的面积,利用三角形的面积公式列出方程解答;
(4)根据改造后的总投资与矩形EFGH的面积之间的关系列出函数关系式,转化为二次函数最小值问题解答.
解答:解:(1)∵FG=x,则AK=80-x(1分)
由△AHG∽△ABC,BC=120,AD=80,
可得:
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230050414094921/SYS201310212300504140949024_DA/0.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230050414094921/SYS201310212300504140949024_DA/1.png)
∴HG=120-
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230050414094921/SYS201310212300504140949024_DA/2.png)
(2)若四边形EFGH为正方形,则FG=HG,
即x=120-
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230050414094921/SYS201310212300504140949024_DA/3.png)
∴这个鱼塘的边长是48米时,建成正方形.
(3)∵BE+FC=120-(120-
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230050414094921/SYS201310212300504140949024_DA/4.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230050414094921/SYS201310212300504140949024_DA/5.png)
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230050414094921/SYS201310212300504140949024_DA/6.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230050414094921/SYS201310212300504140949024_DA/7.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230050414094921/SYS201310212300504140949024_DA/8.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230050414094921/SYS201310212300504140949024_DA/9.png)
∴当FG的长为40米时,种草的面积和种花的面积相等.
(4)设改造后的总投资为W元,
W=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230050414094921/SYS201310212300504140949024_DA/10.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230050414094921/SYS201310212300504140949024_DA/11.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230050414094921/SYS201310212300504140949024_DA/12.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230050414094921/SYS201310212300504140949024_DA/13.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230050414094921/SYS201310212300504140949024_DA/14.png)
∴当x=-
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230050414094921/SYS201310212300504140949024_DA/15.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230050414094921/SYS201310212300504140949024_DA/16.png)
因为根据设计要求HG≥FG,即120-
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230050414094921/SYS201310212300504140949024_DA/17.png)
∴当x=48时,W最小=7.5×482-840×48+57600=34560.
∴当矩形EFGH的边FG长为48米时,空地改造的总投资最小,最小值为34560元.(12分)
点评:此题是一道综合性应用题,涉及三角形面积、四边形面积、二次函数最值等问题,难度较大.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
(2010•古冶区一模)某男子排球队20名队员的身高如下表:
则此男子排球队20名队员的身高的众数是 cm.
身高(cm) | 180 | 186 | 188 | 192 | 193 |
人数(个) | 4 | 6 | 5 | 3 | 2 |