Question

【题目】如图1，在正方形中，对角线与相交于点，是上任意一点，连接，过点作，垂足为点，与交于点．

（1）求证：；

（2）如图2，若点在的延长线上，于点，与的延长线交于点，其他条件不变，判断线段与的数量关系： ．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）DP=AR，证明见解析．

【解析】

（1）由四边形ABCD为正方形，得到对角线垂直且互相平分，再由AQ与BR垂直，得到一对角相等，进而得到△PAO与△RBO全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；

（2）与（1）同理可证OR=OP，结合正方形的性质可证明DP=AR．

证明：（1）∵正方形ABCD的对角线DB，AC相交于点O，
∴DB⊥AC，OA=OB，

∴∠QAC+∠APO=90°，∠BOC=∠AOB=90°，
∵AQ⊥BR，

∴∠QAC+∠BRO=90°，
∴∠APO =∠BRO，
∴△PAO≌△RBO（AAS），
∴OR=OP；

（2）DP=AR，理由如下：

与（1）同理可证OR=OP，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AO=OD,

∴AO+OR=OD+OP，

∴AR=DP，