Question

如图，已知直线AB经过点C（1，2），与x轴、y轴分别交于A点、B点，CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，CF与x轴交于F．
（1）当直线AB绕点C旋转到使△ACD≌△CBE时，求直线A8的解析式；
（2）若S_{四边形ODCE}=S_△CFD，当直线AB绕点C旋转到使FC⊥AB时，求BC的长；
（3）在（2）成立的情况下，将△FOG沿y轴对折得到△F′O′G′（F、0、G的对应点分别为F′、O′、G′），把△F′O′G′沿x轴正方向平移到使得点F′与点A重合，设在平移过程中△F′O′G′与四边形CDOE重叠的面积为y，OO′的长为x，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知C点的坐标，则已知CE，CD的长度，然后依据△ACD≌△CBE，即可求得OA，OB的长度，从而求得A，B的坐标，然后利用待定系数法即可求得AB的解析式；
（2）根据S_{四边形ODCE}=S_△CFD，可以得到△OGF≌△EGC，则EC=OF，而EC=OD，可以证得∠GFO=45°，在直角△OGF中，利用勾股定理即可求得GF的长，并且易证△BEC是等腰直角三角形，△BCG是等腰直角三角形，则BC=CG=GF，从而求解；
（3）O′的位置分两种情况：当△O′G′F′沿x轴正方向移动到使得点O′与点D重合时；当△O′G′F′从点O′与点D重合的位置继续沿x轴正方向移动到使得点F′与点A重合时，分别利用三角形的面积公式和梯形的面积公式即可求得函数解析式．

解答：解：（1）∵CD⊥x轴，CE⊥y轴．x轴⊥y轴，
∴∠CDO=90°，∠CE0=90⁰，∠EOD=90°．
∴四边形CDOE是矩形．
∴OD=EC，OE=DC．
∵C（1，2），
∴D（1，0），
E（O，2）．
∴OD=1，OE=2．
∵△ACD≌△CBE．
∴EB=DC=0E=2．
∴OB=0E+EB=4．
∴B（O，4）．    
设直线AB的解析式为y=-2x+4．
因为直线AB经过点C（1，2），
所以2=k+4．k=-2
则直线AB的解析式为y=-2x+4；
    
（2）∵S_△CFD=

1

2

FD•CD，S_{四边形ODCE}=CD•CE，且S_{四边形ODCE}=S_△CFD，
∴

1

2

×2×FD=2×1，FD=2．
∴FO=FD-OD=1．                            
∵∠FGO=∠CGE，∠FOG=∠CEG=90°，FO=CE．
∴△OGF≌△EGC．
∴FG=CG，OG=EG=1．
在△FOG中，∠FOG=90°，FO=OG=1．
∴tan∠GFO=

GO

FO

=1．所以∠GFO=45°．
∴FG=

OG

sin45°

=

2

，
∵FC⊥AB，
∴∠BCF=90°，从而∠CBG=45°．
∴BC=GC．
∴BC=FG=

2

；

（3）因为∠CFA=45°，∠ACF=90°，所以∠CAF=45°，所以CD⊥AD，所以AD=FD=2
∵△F′O′G′与△FOG关于y轴对称，
∴F′O′=FO=I，
∴O′G′=OG=1．∠G′F′O′=∠CFD=45°
（I）当△G′O′F′沿x轴正方向移动到使得点O′与点D重合时．
0＜x≤l，O′D=0D-0O′=1-x，DF^′=O′F′-O′D=1-（1-x）=x
∵∠HDF^′=90⁰，∠HDF^′=∠G′F′O′=45⁰．
∴∠DHF^′=45⁰．
∴HD=DF^′．
则y=

(HD+O′G′)O′D

2

=

(x+1)(1-x)

2

=-

1

2

x²+

1

2

（0＜x≤1），
（II）当△O^′G^′F^′从点O^′与点D重合的位置继续沿x轴正方向移动到使得点F^′与点A重合时，
l＜x≤2，y=0    
因此y与x之间的函数关系式为：y=

- 1 2 x2+ 1 2 (0＜x≤1) 0  (1＜x≤2)

．

点评：本题考查全等三角形的性质，解直角三角形，求函数的解析式的综合应用，注意到分情况讨论是关键．