Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=6，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=2，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质可知：CB=CD，DF=BE，∠B=∠CDA，于是证得△CEB≌△CFD，即可证出CE=CF，
（2）首先证出∠ECF=90°，故可知∠FCG=45°，于是证得△CEG≌△CFG，即可证出GE=GF=DF+GD=BE+GD，
（3）首先求出DE=DF=DG+BE=DG+2=AB-AD+2=6-AD+2=8-AD，然后根据勾股定理的知识求出AD的值，进而求出DE的值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠B=∠CDA，
∵DF=BE，
∴△CEB≌△CFD，
∴CE=CF，

（2）解：成立．理由如下：
过C作CG⊥DF，
证得∠ECF=90°，
∴∠FCG=45°，
证得△CEG≌△CFG（SAS），
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD，

（3）解：延长AD到F，使得DF=DE，过C作CG⊥DF，
同理得：DE=DF=DG+BE=DG+2=AB-AD+2=6-AD+2=8-AD，
又∵DE=

AE2+AD2

=

42+AD2

，
∴

42+AD2

=8-AD，
∴AD=3，
∴DE=5．

点评：本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握直角梯形的性质和勾股定理的应用，此题难度一般．