题目内容

【题目】已知A(0,2),B(4,0).
(1)如图1,连接AB,若D(0,﹣6),DE⊥AB于点E,B、C关于y轴对称,M是线段DE上的一点,且DM=AB,连接AM,试判断线段AC与AM之间的位置和数量关系,并证明你的结论;

(2)如图2,在(1)的条件下,若N是线段DM上的一个动点,P是MA延长线上的一点,且DN=AP,连接PN交y轴于点Q,过点N作NH⊥y轴于点H,当N点在线段DM上运动时,△MQH的面积是否为定值?若是,请求出这个值;若不是,请说明理由.

【答案】
(1)

解:结论:AC=AM,AC⊥AM.理由如下:

∵A(0,2),B(4,0)D(0,﹣6),

∴OA=2,OD=6,OB=4,

∵AD=OA+OD=8,BC=2OB=8,

∴AD=BC,

在△CAB与△AMD中,

∴△CAB≌△AMD,

∴AC=AM,∠ACO=∠MAD,

∵∠ACO+∠CAO=90°,

∴∠MAD+∠CAO=∠MAC=90°,

∴AC=AM,AC⊥AM


(2)

解:是定值,定值为4.理由如下:

如图3

过P作PG⊥y轴于G,

在△PAG与△HND中,

∴△PAG≌△HND,

∴PG=HN,AG=HD,

∴AD=GH=8,

在△PQG与△NHQ中,

∴△PQG≌△NHQ,

∴QG=QH= GH=4,

∴SMQH= ×4×2=4.


【解析】(1)结论:AC=AM,AC⊥AM.由已知条件得到AD=BC,推出△CAB≌△AMD,根据全等三角形的性质得到AC=AM,∠ACO=∠MAD,由于∠ACO+∠CAO=90°,得到∠MAD+∠CAO=∠MAC=90°即可得到结论;(2)过P作PG⊥y轴于G,证得△PAG≌△HND,根据全等三角形的性质得到PG=HN,AG=HD,证得△PQG≌△NHQ,得到QG=QH= GH=4即可得到结论.

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