Question

已知，等边三角形ABC，D是AB上一点，DE⊥BC，垂足为E，EF⊥AC，垂足为F，FD⊥AB．
（1）说明△DEF 为等边三角形的理由；（2）若AD=2，试求△ABC和△DEF的面积．

Answer 1

解：（1）∵等边△ABC，
∴∠B=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∴∠BDE=30°，
∵FD⊥AB，
∴∠ADF=90°，
∴∠EDF=60°，
同理，∠DEF=60°，
∴△DEF为等边三角形，

（2）∵△DEF为等边三角形，
∴DE=DF=EF，
∵∠DEB=∠ADF=∠EFC=90°，∠A=∠B=∠C=60°，
∴在△ADF和△BED中，
，
∴△ADF≌△BED（AAS），
∴同理，△ADF≌△BED≌△CFE，
∴AF=BD=EC，且AD=BE=CF，
∴AD=2，∠ADF=90°，∠A=60°，
∴AF=4，DF=2，
∴AB=6，
∴AB=BC=AC=6，DF=DE=EF=2，
过A作AM⊥BC于M，
则BM=MC=3，由勾股定理得：AM=3，
∴S_△ABC=BC×AM=×6×3=9，
同理S_△DEF=×2×3=3．
∴S_△ABC=9，S_△DEF=3．
分析：（1）由等边三角形ABC，DE⊥BC，FD⊥AB，根据平角的性质、垂直的定义即可推出∠EDF=60°，同样的道理推出∠DEF=60°，即可推出△DEF为等边三角形；
（2）根据（1）所推出的结论，结合全等三角形的判定定理“AAS”，即可得，△ADF≌△BED≌△CFE，再通过直角三角形中特殊角的三角函数，即可推出DF、DE、EF的长度，然后根据三角形的面积公式即可求出
点评：本题主要考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的判定及性质，特殊角的三角函数，关键在于通过求相关角的度数推出△DEF为等边三角形，根据相关的定理求证相关的三角形全等，通过认真的计算求得三角形的三边长度．