题目内容

已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，精英家教网线段MN运动的时间为t秒．
（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形并求出该矩形的面积；
（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t，求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
分析：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D．当PQ∥AB时即可得出四边形MNQP是矩形，根据特殊角的三角函数值求出四边形MNQP的面积；
（2）根据①当0＜t＜1时；②当1≤t≤2时；③当2＜t＜3时，分别求出四边形MNQP的面积，即四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式．
解答：精英家教网解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AD=2，
当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，
即当AM=
3
2
时，四边形MNQP是矩形，
∴t=
3
2
秒时，四边形MNQP是矩形，
∵PM=AMtan60°=
3
2
3
，
PQ=MN=AB-2AM=4-3=1，
∴S四边形MNQP=PM•PQ=
3
2
3
；

（2）①当0＜t≤1时，点P、Q都在AC上，并且四边形PMNQ为直角梯形，
在Rt△AMP中，
∵∠A=60°，AM=t，tan∠A=
PM
AM
，
∴PM=tan60°×AM=
3
AM=
3
t，
在Rt△ANQ中，
而AN=AM+MN=t+1，
∴QN=
3
AN=
3
（t+1），
∴S四边形MNQP=
1
2
（PM+QN）MN=
1
2
[
3
t+
3
（t+1）]=
3
t+
3
2
；
②当1＜t＜2时，
点P在AC上，点Q在BC上，
PM=
3
t，
BN=AB-AM-MN=4-1-t=3-t，
在Rt△BNQ中，
QN=
3
BN=
3
（3-t），
∴S四边形MNQP=
1
2
（PM+QN）MN=
1
2
[
3
t+
3
（3-t）]×1=
3
2
3
；
③当2≤t＜3时，点P、Q都在BC上，
BM=4-t，BN=3-t，
∴PM=
3
BM=
3
（4-t），QN=
3
BN=
3
（3-t），
∴S四边形MNQP=
1
2
（PM+QN）MN=
1
2
[
3
（3-t）+
3
（4-t）]=
7
2
3
-
3
t．    
 综上所述：当0＜t≤1时，S四边形MNQP=
3
t+
3
2
；当1＜t＜2时，S四边形MNQP=
3
2
3
；
当2≤t＜3时，S四边形MNQP=
7
2
3
-
3
t．  （10分）精英家教网精英家教网精英家教网
点评：本题涉及到动点问题，比较复杂，解答此题的关键是根据题意画出图形，由数形结合便可解答，体现了数形结合在解题中的重要作用．
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