Question

如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点B在x轴的正半轴上，OA边在直线y=

3

3

x上，AB边在直线y=-

3

3

x+2上．
（1）直接写出O、A、B、C的坐标；
（2）在OB上有一动点P，以O为圆心，OP为半径画弧MN，分别交边OA、OC于M、N（M、N可以与A、C重合），作⊙Q与边AB、BC，弧MN都相切，⊙Q分别与边AB、BC相切于点D、E，设⊙Q的半径为r，OP的长为y，求y与r之间的函数关系式，并写出自变量r的取值范围；
（3）以O为圆心、OA为半径做扇形OAC，请问在菱形OABC中，除去扇形OAC后剩余部分内，是否可以截下一个圆，使得它与扇形OAC刚好围成一个圆锥．若可以，求出这个圆的面积，若不可以，说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点B在x轴的正半轴上，OA边在直线y=

3

3

x上，AB边在直线y=-

3

3

x+2上，所以O（0，0），A是两直线的交点．将两直线的解析式联立，得到方程组，解之即可得到A的坐标A(

3

，1)，利用菱形的对称性即可得到B，C点的坐标．
（2）因为⊙Q分别与边AB、BC相切于点D、E，所以可连接QD、QE，则QD⊥AB，QE⊥BC且QD=QE，从而判断点Q在∠ABC的平分线上．利用菱形的对角线平分一组内对角可知点Q在OB上，又因⊙Q与弧MN相切于点P，而在Rt△QDB中，∠QBD=30°，所以QB=2QD=2r，即y+3r=2

3

，整理即可得到所要求的解析式．
（3）因为以O为圆心、OA为半径做扇形OAC，则弧AC的长为

2

3

π，设截下的⊙Q符合条件，其半径为R，则2πR=

2

3

π，所以R=

1

3

，由（2）知，此时OA=y=2，则⊙Q的半径大于R，能截下一个圆，使得它与扇形OAC刚好围成一个圆锥，从而求此圆的面积．

解答：解：（1）O（0，0），A(

3

，1)，B(2

3

，0)，C（

3

，-1）；（2分）

（2）连接QD、QE，则QD⊥AB，QE⊥BC．
∵QD=QE，
∴点Q在∠ABC的平分线上．
又∵OABC是菱形，
∴点Q在OB上．
∴⊙Q与弧MN相切于点P．
在Rt△QDB中，∠QBD=30°，
∴QB=2QD=2r．
∴y+3r=2

3

，
∴y=2

3

-3r．
∵y＞0，
∴2

3

-3r＞0，
∴r＜

2 3

3

，
∵A（

3

，1）
∴AO=2，
∴2

3

-3r≤2，
解得：

2 3 -2

3

≤r，
故

2 3 -2

3

≤r＜

2 3

3

．

（3）可以．
理由：弧AC的长为

2

3

π．
设截下的⊙Q符合条件，其半径为R，则2πR=

2

3

π．
∴R=

1

3

．
由（2）知，此时OA=y=2，则⊙Q的半径R=

2 3 -2

3

＞

1

3

，
∴能截下一个圆，使得它与扇形OAC刚好围成一个圆锥，
此圆的面积为S=πR2=

1

9

π．

点评：本题需仔细分析题意，结合图形，利用菱形的性质、切线的性质即可解决问题．