Question

如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD丄BC交AB于D，作DE丄AC于E，F为射线CB上一点，且∠CEF=∠ABC．设点P的运动时间为x（秒）．
（1）用含有x的代数式表示CE的长．
（2）求点F与点B重合时x的值．
（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式．
（4）当x为某个值时，沿PD将以D、E、F、B为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的x值．

Answer 1

分析：（1）首先证明△ABC∽△DBP∽△FEC，即可得出比例式进而得出表示CE的长；
（2）根据当点F与点B重合时，FC=BC，即可得出答案；
（3）首先证明Rt△DOE∽Rt△CEF，得出

DO

DE

=

CE

CF

，即可得出y与x之间的函数关系式；
（4）根据三角形边长相等得出答案．

解答：解：（1）∵PD⊥BC，DE⊥AC，且∠C=90°，
∴四边形DECP为矩形，
∴DE=PC，DP=EC，
又∵∠CEF=∠ABC，
∴△ABC∽△DBP∽△FEC，
∴

FC

EC

=

DP

BP

=

AC

BC

，
∵CA=30，CB=20，BP=4x，
∴

FC

EC

=

DP

4x

=

30

20

，
∴FC=9x，DP=EC=6x．

（2）当点F与点B重合时，FC=BC，
∴FC=BC，
∴9x=20，
解得：x=

20

9

，

（3）当点F与点P重合时，4x+9x=20，
解得x=

20

13

，
∵FP=BC-FC-PB=20-9x-4x=20-13x，
∵DE=PC=BC-PB=20-4x，
∴y=（DE+FP）•DP•0.5=（20-4x+20-13x）•6x×0.5=3x（40-17x）=120x-51x²；
当

20

13

＜x≤

20

9

时，
矩形DECP中DP∥EC，
∴∠DOE=∠FEC，
∴Rt△DOE∽Rt△CEF，
∴

DO

DE

=

CE

CF

，
∴

DO

20-4x

=

6x

9x

，
∴DO=

2

3

（20-4x），
∴y=

1

2

DO•DE=

1

2

×

2

3

（20-4x）（20-4x）=

16

3

（5-x）²；

（4）①如图③，当PD=PF时，6x=20-13x，解得：x=

20

19

；△B′DE为拼成的三角形；
②如图④当点F与点P重合时，4x+9x=20，解得：x=

20

13

；△BDC为拼成的三角形；
③如图⑤，当DE=PB，20-4x=4x，解得：x=

5

2

，△DPF为拼成的三角形．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理和矩形的性质与判定，根据题意得出△ABC∽△DBP∽△FEC以及Rt△DOE∽Rt△CEF是解决问题的关键．